Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики Павел Полуэктов
Николай Полуэктов
Может ли завтра начаться сегодня? Как быстро перемножить в уме 748 на 1503? Каков минимальный размер черной дыры? Почему не тают ледяные жилища эскимосов, когда в них разводят огонь? Авторы предлагают вам проверить свои знания математики, физики и логики. Каверзные вопросы, варианты ответов с подвохом и подробные решения помогут провести время интересно и с пользой.
Николай Полуэктов, Павел Полуэктов
Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики
Редактор О. Кропоткина
Руководитель проекта Л. Разживайкина
Корректор М. Смирнова
Компьютерная верстка А. Абрамов
Дизайн обложки Ю. Буга
Иллюстрации М. Сигунов
«Альпина Паблишер»
Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет (ст. 146 УК РФ).
* * *
EDITOR'S CHOICE - ВЫБОР ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА
Прекрасная книга для того, чтобы вспомнить свои знания по логике, физике и математике и восхититься красотой и простотой («Как же я мог забыть?») ответов. Подходит как для коллективных интеллектуальных посиделок с друзьями, так и для самопроверки. Удачи вам в «правильной» загрузке вашего мозга!
Сергей Турко, главный редактор издательства «Альпина Паблишер»
Предисловие
Вечное сияние чистого разума
Разумеется, мне неизвестно, как возник мир, был ли у него создатель, или все получилось само собой. Но я глубоко убежден, что весь этот мир мог быть (и верю, что был) придуман, выведен из нескольких простых и ясных рассуждений. Судите сами. Все законы сохранения в классической механике вытекают из предположения об однородности пространства и времени. Если мы считаем пространство однородным (точка А в физическом отношении ничем не отличается от точки Б), получаем закон сохранения импульса. Считаем однородным время (12:00 ничем не лучше 21:00) - выводим закон сохранения энергии. Ну а если примем пространство изотропным (все направления равноправны - вперед, назад, вверх, вниз, вправо, влево), то тут же сформулируем закон сохранения момента импульса (вот из-за чего вращается волчок!).
Специальную теорию относительности Эйнштейн вывел из предположения, что скорость распространения сигнала ограничена конечным пределом (это скорость света в вакууме - 300 000 км в секунду). А общую теорию относительности - из принципа эквивалентности гравитационной и инерционной масс. Там в начале всего лежит завораживающее рассуждение: представьте, что вы едете в лифте. Вы давите на пол всем своим весом, но, если двери лифта непрозрачны, вы никогда не сможете определить, что создает этот вес - может, притяжение Земли, а может, ваш лифт какие-то шутники подцепили к ракете и она разгоняется с ускорением g[1 - g = 9,8 м/с? - ускорение свободного падения в поле притяжения Земли вблизи ее поверхности.]? И вот из такого анекдота родилась вся современная космология! Фантастика!
А величайшая наука XX века, квантовая механика (атомная бомба, лазеры, компьютеры, сверхпроводники и проч. - все появилось благодаря ей), выведена, если подумать, из почти очевидного предположения, что процесс измерения может влиять на измеряемый объект. Только вы об этом подумали - так сразу создали новый сложный мир с протонами и электронами, атомами, рассортированными по нужным ячейкам в таблице Менделеева, парадоксами наподобие знаменитого кота Шредингера и т. д. и т. п.
Так что три раздела нашей книги - «Логика», «Математика», «Физика» - не связаны друг с другом только на первый взгляд. Если разобраться, то их никак не разделить: логические рассуждения порождают физические законы, а математика позволяет все это обсчитать и получить конечный результат, что называется, в цифре.
* * *
«Озадачник» - книга, появившаяся из настольной игры, которую мы придумали с моим отцом, Павлом Петровичем Полуэктовым - доктором физ. - мат. наук, профессором, физиком-ядерщиком. Работа над первым «Озадачником» (по физике) была лучшей работой на свете - никакое занятие ни до, ни после не доставляло мне такого удовольствия! Папа придумывал задачи (он написал их все в три дня), я редактировал и подгонял под наш формат (условие, три варианта ответа, правильный ответ с качественным решением). Над «Логикой» и «Математикой» мне пришлось работать одному - папы не стало в марте 2015-го. Он уходил тяжело, как это всегда бывает с такой болезнью (онкология). В один из последних дней он пошутил: «Меня тут обследовали, и я обнаружил, что единственным местом, не задетым болезнью, осталась голова. Пожалуй, это лучшее, чего бы я мог себе пожелать в сложившихся обстоятельствах!» «Мне с собой никогда не бывает скучно», - его любимая присказка. И он продолжал работать до самого последнего дня - звучит избито, но не знаю, как еще сформулировать.
Уже после смерти отца продолжили выходить его работы, папины коллеги выпускали статьи, материалом для которых он делился в их последние встречи. И вот еще один его труд - книга, которую вы держите в руках. Папа, кстати, сразу хотел выпустить «Озадачник» еще и в книжном формате. «Понимаешь, сейчас совсем не осталось хороших задачников!» - говорил он. В своих воспоминаниях я, любя, сравниваю его с Чеширским котом. Да, он ушел, но осталась его улыбка. А то, что он придумал столько времени назад, продолжает воплощаться и сейчас. Мысль - она сильнее многих обстоятельств.
Николай Полуэктов
Москва, 6 мая 2016 г.
Логика
1. Странная рыба
В супермаркетах отдел консервированной рыбы завален сардинами, а вот в отделе свежей рыбы их никогда не бывает. Чем это можно объяснить?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Сардины - недорогая рыба, рыбакам выгоднее закатать ее в банку прямо в море, чем возиться с поставками свежевыловленного продукта в магазины.
2. Свежие сардины обладают неприятными запахом и привкусом, которые уходят только после консервации.
3. Сардины? Их просто не существует!
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Многих этот факт удивляет, но можно поручиться за его 100-процентную достоверность: такого сорта рыбы, как сардины, не существует в природе. Сардинами именуют мелкую консервированную рыбешку самой разной породы. Это как шпроты (прямая аналогия) и таинственная рыба сурими, которая якобы входит в состав всех крабовых палочек: сурими в переводе с японского значит «фарш», в крабовые палочки накладывают фарш из рыбы подешевле - минтая и т. п.
2. Сколько мне лет?
Молодой аспирант приступил к чтению курса логики в университете. Одна из студенток поинтересовалась, сколько ему лет, и он ответил ей так:
- Я родился в понедельник, что некоторые считают плохой приметой. Кстати, в этом году мой день рождения также придется на понедельник. Но я в приметы не верю, к тому же все не так уж и плохо - ведь за прошедшие годы день рождения у меня выпадал на каждый день недели одинаковое количество раз. Так сколько же мне лет? - спрошу я у вас.
А действительно, сколько?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 22.
2. 27.
3. 32.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
В обычном, не високосном году 365 = 52 ? 7 + 1 дней. Получается, что день недели каждый год сдвигается на единицу: если в этом году 1 января приходится на понедельник, то в следующем году на вторник, потом на среду и т. д. Если бы не високосные годы, то с периодом в семь лет вся история строго повторялась бы: опять Новый год в понедельник, вторник и т. д. Но каждые четыре года происходит сбой: в году на один день больше, и мы «перескакиваем» через один день недели (если 1 января в високосном понедельник, то в следующем это среда). Тем не менее понятно, что выпадение дней недели на определенную дату - процесс периодический, и логично предположить, что период у этого процесса - наименьшее общее кратное периодов в семь (смена дней недели) и четыре (промежуток между високосными годами) года, т. е. 28. Это действительно так и проверяется элементарно (просто изучите календарь). Итак, в текущем году аспиранту должно исполниться 28 лет (есть еще возможности 56, 84 и т. д., но их отбрасываем - в условии сказано, что он молод), только в этом случае будет удовлетворено условие «день рождения у меня выпадал
на каждый день недели одинаковое количество раз». День рождения еще не прошел (аспирант говорит о нем в будущем времени) - значит, сейчас ему 27.
3. Орел или решка?
Монета выпадает орлом или решкой с одинаковой вероятностью 1/2 (50 %). В эксперименте подбросили монету 10 раз и - чудеса! - все 10 раз выпал орел. Какова вероятность, что и на одиннадцатом броске снова выпадет орел?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 1/2 (50 %).
2. 1/2 в 11-й степени (0,0005, или 0,05 %), практически невероятное событие.
3. Определяется временем между бросками: если подождать достаточно долго, то события будут независимыми, и вероятность составит 50 %; если бросить сразу, то вероятность 11 раз подряд получить орла - 0,05 %.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Интуиция подсказывает, что не может 11 раз выпадать орел и, значит, вероятность его появления после того, как он выпал 10 раз подряд, должна быть ниже, чем при первом броске. Увы, интуиция нас подводит - она не ниже, а такая же, всегда 50 %. Предыстория процесса на нее никак не влияет. Это, кстати, никак не доказывается, а принимается на веру - есть такая эргодическая гипотеза, которую можно сформулировать и так: подбрасывание одной монеты n раз подряд и одновременное подбрасывание n монет со статистической точки зрения совершенно эквивалентны. Когда мы подбрасываем n монет, они уж точно друг о друге ничего не «знают» и выпадают орлом или решкой с вероятностью 50 % (для каждой). Эргодическая гипотеза не доказывается, но при этом безупречно работает в статистике, термодинамике, квантовой физике и т. д. Так что вероятность выпадения орла на 11-м броске остается той же самой - другое дело, что оказаться в реальности, когда перед этим 10 раз подряд выпал орел (или 10 раз подряд выпало «красное» на рулетке, или 10 раз подряд выиграть в техасский покер с двумя двойками и т. п.), крайне маловероятно -
0,1 %. В среднем такой результат будет получаться в одном эксперименте из тысячи.
4. Который час?
В ночь с 25 на 26 октября должен состояться переход на зимнее время, все часы переводятся на час назад. У Игоря в доме только двое часов, и те и другие электронные: в планшете и в телефоне. Перед тем как лечь спать, он выставляет на них новое время, с тем чтобы проснуться в 10:00 и поспешить на свидание к Арине (они условились встретиться в 12:00). Когда же он проснулся, то с удивлением узнал, что часы на планшете показывают 10:00, а на телефоне - 11:00. Удалось ли Игорю определить, который час, и не опоздать на свидание?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Было 10:00, и Игорь смог это установить - все как он и планировал, на свидание пришел вовремя.
2. Было 11:00, и Игорь смог это установить - быстро собравшись, он успел вовремя добраться к Арине.
3. Установить точное время не представлялось возможным, он опоздал, свидание было безнадежно испорчено.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Для начала нужно понять, почему вообще время на часах могло измениться. Всякий владелец гаджетов знает - тому может быть две причины: или точное время пришло из сети (мобильной или компьютерной), или прибор сам перевел время в соответствии со своими настройками («Автоматически переключаться на летнее/зимнее время»). Почти наверняка на одном из устройств Игоря случилось именно второе: после того как (вечером) Игорь выставил часы, гаджет (ночью) сам еще раз их переставил. Осталось понять, в какую сторону он мог изменить время, - совершенно очевидно, что прибор открутил его на час назад. Судите сами, устройство не знает, сколько на самом деле времени, но программно в нем заложен переход на зимнее время - т. е. оно обязано совершить «перевод стрелок» в запрограммированном направлении, соответственно на час назад. Так что Игорь должен был поверить часам, показывающим более позднее время, что он и сделал. Надо сказать, ему еще повезло: если бы ночью часы перевелись и на планшете, и на телефоне, с утра они показывали бы одинаковое и неправильное время (10:00), и Игорь бы гарантированно опоздал на
свидание ровно на час.
5. Казнить нельзя помиловать
Суд в одной из ближневосточных стран приговаривает преступника к смертной казни. По законам этой страны приговоренный имеет право на последнее слово, которое может содержать не более одного утверждения. Если оно будет истинным, преступника утопят, если же ложным - тогда повесят. Осужденный произносит одну фразу, после чего казнь немедленно отменяют. Что же такого он сказал?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. «Меня повесят».
2. «Меня не повесят, но утопят».
3. «Меня не повесят и не утопят».
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Произнеся «Меня повесят», преступник поставил суд в безвыходное положение. Если утверждение истинно и его и правда повесят, то нарушат закон, так как в этом случае осужденного должны были не вешать, а топить. Если же оно ложно, то его не могут ни утопить (топят только тогда, когда утверждение истинно), ни повесить (потому что тогда оно перестанет быть ложным). Чтобы не нарушить закон, судья вынужден отменить казнь. Рассуждая аналогично, нетрудно показать, что фразы «Меня повесят, но не утопят» и «Меня не утопят» приведут к такому же результату.
6. Выбор католика
Если вам известно хоть что-то о католической вере, вы легко сможете ответить на этот вопрос. Может ли искренне верующий католик, следующий всем заветам своей церкви, жениться на сестре своей вдовы?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Да.
2. Да, но только испросив разрешение священника.
3. Нет.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Ну конечно же нет! Если у него есть вдова, то сам-то он кто? Покойник, как есть мертвец. Ни на женитьбу, ни на вообще какое-либо действие он уже, увы, не способен.
7. Чей же портрет?
Джентльмен в галерее долго и внимательно рассматривает портрет другого джентльмена, удивительно похожего на него самого. У него интересуются:
- Скажите, чей это портрет?
- Видите ли, в семье я рос совершенно один. И к этому необходимо добавить, что отец того, кто на портрете, - сын моего отца.
Чей же портрет разглядывает джентльмен?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Своего отца.
2. Свой собственный.
3. Своего сына.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Загадка становится тривиальной, если упростить запутанное условие. «Отец того, кто на портрете, - сын моего отца» - это или сам говорящий, или его брат. По условию братьев у него не было, значит, это он и есть, других вариантов не просматривается. Упрощаем: «Отец того, кто на портрете, - это я», значит, на портрете - его сын.
8. Сколько поставить?
Джон был в отчаянии: сегодня же День всех влюбленных! Он планировал подарить своей невесте Мэри изящное колечко, которое они вместе видели в Tiffany & Co. Но - надо же такому случиться! - кольцо стоит $40, а в кошельке у него только $20. Где взять недостающую двадцатку? Джон оглянулся и увидел вывеску казино. «Поставлю все на „красное“, и будь что будет!» - решил Джон, но, уже подходя к столу, задумался: а нужно ли ставить сразу все? Это же какой великий риск! Не разумнее ли будет поставить 20 раз по $1?
Так как лучше поступить Джону?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Поставить $20 одной суммой и сыграть один раз.
2. Воспользоваться малорискованной стратегией: разбить сумму по $1 и поставить 20 раз.
3. Вероятность выигрыша не зависит от количества ставок.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Вероятность выигрыша на американской рулетке при ставке на цвет (на черное или красное) составляет 18/38 (18 красных или черных чисел из 38 ячеек), т. е. почти 50 % (47,37 %, если быть точным), при этом выигрыш составляет двойной размер ставки (поставил x и, если выиграл, забрал 2x). Таким образом, поставив $20, Джон с шансами почти «один к одному» уходит с $40. Это очень хорошие шансы, примерно как при подбрасывании монеты угадать, что выпадет - орел или решка. А чтобы выиграть $20, ставя по $1, ему нужно выиграть 20 раз подряд (шансы меньше, чем один из миллиона; ср. с задачей № 3) либо сыграть 22 раза, проиграв только один раз, либо 24 раза, проиграв только дважды, и т. п. Учтя все эти возможности, найдем, что вероятность выиграть нужную сумму при осторожном подходе - 11 %, вчетверо меньше, чем при однократной ставке в $20! В общем, ставить по $1 никакая не малорискованная стратегия, а ровно наоборот. Отсюда, кстати, еще одно следствие: если вам случилось крупно выиграть, лучше сразу перестать играть - только так вы сможете сохранить свой выигрыш. Правда, даже те, кто знают об этом, редко
находят силы встать и уйти, поэтому-то казино всегда в плюсе.
9. Консервированные слаще
Маленький Алеша не любил абрикосы. «Несладкие!» - кричал он маме и отказывался есть самые спелые фрукты. Но однажды в гостях ему предложили консервированные абрикосы, и он их с удовольствием съел. «Это потому, что в них добавили сахар», - вздохнула мама, но, прочитав состав продукта («Абрикосы, вода»), была изрядно озадачена. Никакого сахара.
Почему же консервированные абрикосы всегда слаще, чем свежие?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Производители лукавят: сахар добавляют, но в составе не указывают.
2. Абрикосы в банке как бы «дозревают»: когда они лежат в сиропе, в них вырабатывается сахар.
3. Просто они действительно слаще!
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Предположим, что в продажу и консервацию отбираются абрикосы одинаковой - наибольшей - спелости. Тогда бы свежие абрикосы прибывали на рынок в совершенно некондиционном виде: по дороге (а путь от дерева до места продажи занимает не один день и порой не одну неделю) они бы успевали испортиться и сгнить. Чтобы этого не произошло, приходится срывать их недозревшими, они после как-то доходят, но все равно не до высшей спелости. (Это, кстати, касается всех без исключения фруктов и овощей.) Иное дело абрикосы в банках: консервируются они там же, где и растут, так что самое разумное - дождаться, когда они как следует созреют и наберут вес, и тогда сразу же закатать в жестянку. Очевидно, что сахара в таких абрикосах больше - поэтому они и слаще.
10. Что лучше?
Что лучше - самое большое и никогда не прекращающееся удовольствие или кружечка холодного свежего кваса?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Конечно, самое большое вечное удовольствие.
2. Разумеется, кружка кваса.
3. Это соотношение непостоянно - когда-то первое, когда и второе.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Что может быть лучше вечного, никогда не прекращающегося, самого большого удовольствия (что бы это ни было)? Очевидно, ничего. Но кружка кваса - гораздо лучше, чем ничего. Кружка кваса лучше, чем ничего, а ничего лучше, чем вечное блаженство, - выходит, квас превыше всего, даже этого самого блаженства. Что и требовалось доказать.
11. Cogito ergo sum
Декарт однажды логически доказал существование Бога: он определил Бога как существо, обладающее всеми мыслимыми свойствами. Значит, по определению, Бог должен обладать свойством существовать. Следовательно, Бог существует. Что не так с этим, бесспорно, изящным доказательством и почему мы не можем его принять?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Существование не есть свойство.
2. Наделение Бога свойством существования не делает обязательным его существование.
3. Доказательство допускает существование нескольких всемогущих богов, что ведет к противоречию: если бог всемогущ, то он обязан быть единственным, иначе он уже не всемогущ.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Надо сказать, что возражение № 1 (существование не есть свойство) предложил не кто иной, как сам Иммануил Кант. В свою очередь Рэймонд Смаллиан, известный автор книг по занимательной логике, считает, что все еще серьезнее и, даже если бы существование можно было признать за свойство, доказательство Декарта все равно бы не «прокатывало». Вот рассуждение Смаллиана: «Из доказательства Декарта следует, что все боги существуют, то есть всякий x, удовлетворяющий определению бога по Декарту, должен обладать свойством существования. Но из этого совершенно не следует, что по крайней мере один бог непременно существует». Наконец, автор смеет надеяться, что и его вариант ответа (№ 3) тоже вполне логичен. Так что в качестве возражения Декарту можно брать любой вариант, принимая за канонически правильный тот, что под номером 2. А существование Бога по-прежнему остается предметом веры, а не знания - как и должно. Простим Декарту его ошибку, ведь она только усиливает более известную его фразу: «Мыслю, следовательно, существую» («Cogito ergo sum»). Я ошибаюсь - следовательно, я мыслю.
12. Завтра начинается сегодня
В жюль-верновском «Вокруг света за 80 дней» Филеас Фогг заканчивает свое путешествие будучи уверенным, что проиграл пари - по его часам все сроки вышли. Однако на финише выясняется, что он ошибается ровно на один день - прибыл в Лондон на сутки раньше, чем предполагал! Но при этом, если посчитать количество дней, проведенных им в дороге, получается, что его расчеты верны и пари проиграно. Что за парадокс?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Время в движении течет неодинаково за счет неинерциальности системы отсчета наблюдателя.
2. Сутки длиннее или короче в зависимости от того, куда идешь.
3. Это был високосный год, Фогг просто не учел, что в нем на один день больше.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Типичная задача, которая сбивает с толку, хотя ответ на нее очевиден. Причем очень старая: «Если идти по Земле вместе с солнышком, как определить, где кончается сегодня и начинается завтра?» - это еще птица Додо в «Алисе» спрашивала. Прежде всего заметим, что абсолютное время, проведенное Фоггом в пути, одинаково на всех часах - будь они в Лондоне, Бомбее или Сан-Франциско. При этом в Лондоне прошло 80 суток, а Фогг насчитал 81 - значит, каждые сутки Фогга в среднем были на 1/80 (т. е. примерно на 18 минут) короче суток неподвижного наблюдателя. Ничего удивительного, он же двигался на восток, сменяя часовые пояса в сторону «упозднения». А после просто не заметил перехода через линию перемены даты (где-то около 180-го меридиана), что тоже не поражает: как заметить воображаемую линию, слева от которой «сегодня», справа «вчера», а время одно и то же? Осталось добавить, что если бы он шел в обратном направлении (через запад на восток), то сутки его были бы, напротив, длиннее календарных и пари бы он в итоге проиграл.
13. Одинокий джентльмен
Обедневший джентльмен вынужден был рассчитать камердинера и теперь своим туалетом занимается сам. В его гардеробной (а он даже не знает, как включить там свет) лежат восемь пар носков двух цветов - черного и синего. Сколько носков ему следует взять, чтобы он мог составить из них хотя бы одну пару?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Два.
2. Три.
3. Восемь.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Два носка - это уже пара, так что если вы ответили «два», то не слишком ошиблись: из них и правда можно составить пару носков, пусть и разноцветных. Но джентльмену не пристало ходить в разноцветных носках, это же не хипстер, так что, конечно же, речь шла о паре носков одного цвета. Если он возьмет два, то с вероятностью 50 % они окажутся разноцветные (первый синий, второй черный, или наоборот). Но, добавив третий носок, он гарантированно составит пару - синюю или же черную.
14. Что за медведь?
Медведь выполз на свет, потянулся и пошел на прогулку. Пройдя полкилометра строго на юг, он повернул на восток, прошел еще метров 300, завернул на север и еще через полкилометра с удивлением обнаружил себя в исходной точке. Что за дела? - подумал он, мы же зададимся другим вопросом: что это был за медведь?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Белый.
2. Бурый.
3. Панда.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Там, где вы сейчас находитесь, пройдя 500 м на юг, потом 300 на восток, а потом еще 500 на север, вы никогда не окажетесь в исходном месте. Если только вы не на полюсе, причем на полюсе Северном - на Южном полюсе на юг идти нельзя, вы, как говорится, уже пришли. Оттуда все пути - только на север. Так что вопрос наш на самом деле совсем прост: «Какого цвета медведи на Северном полюсе?» - ответит и ребенок.
15. Про сугробы
Прогуливаясь в зимнем парке, Виктор Степанович обратил внимание, что сугробы вдоль парковых дорожек имеют неодинаковую высоту: в закрытых углах (в углах закрытых площадок) они низкие, а в открытых (например, на перпендикулярных перекрестках), напротив, высокие. Перебирая возможные причины этого явления, Виктор Степанович выделил три. А какую выберете вы?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Так высотой сугробов распоряжается ветер, надувает снег в открытые углы и сдувает из закрытых.
2. Дворники специально делают сугробы повыше в открытых углах - чтобы ветру было труднее сдувать снег обратно на убранную территорию.
3. Если убирать снег лопатами, всегда будет получаться именно так.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Снег лопатами убирают всегда по одной и той же схеме: сгребают с убираемой территории к ее границе, перпендикулярно этой границе, а после перекидывают через нее. Попробуйте какой-нибудь другой способ, и вы быстро утомитесь, так как вам придется перетаскивать снег на бoльшие расстояния, т. е. делать больше работы, причем совершенно лишней. Приняв этот факт, совсем просто объяснить «сугробное неравенство»: в открытые углы снег сгребается сразу с двух направлений (например, на перекрестке - сразу с двух пересекающихся дорожек), в закрытый же угол его не бросают вовсе.
16. О великом скрипаче
В последнее время оживились споры: был ли Никколо Паганини действительно самым искусным скрипачом среди всех живущих и живших? Обсудим это и мы.
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Да, был, это ж Паганини!
2. Определенно нет.
3. Возможно, но как это определить?
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Для того чтобы выяснить, был ли Паганини самым лучшим скрипачом из всех живущих или когда-либо живших, нужно их просто взять и сравнить. И тут резонно задаться вопросом: как это сделать? Никаких записей Паганини по понятным причинам не оставил (его годы жизни - 1782 -1840 гг., а фонограф был изобретен Томасом Эдисоном только в 1877-м). Все, что мы знаем о Паганини, оставлено нам в свидетельствах современников - что позволяет весьма ограниченно судить о способностях музыканта (буквально по анекдоту «Карузо, Карузо… Мне тут Рабинович напел!»). Так что одно мы можем утверждать определенно: Паганини, бесспорно, был великим музыкантом, но полагать, что он был самым лучшим скрипачом из всех, - для этого у нас нет и в принципе не может быть достаточных данных.
17. По какой полосе?
Вы приближаетесь к пункту взимания платы на платной автостраде. Пункт организован традиционно: по правой полосе могут двигаться любые машины - легковые, грузовики, автобусы, по всем прочим только легковые. В какой ряд следует встать?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. В правый, поближе к дальнобойщикам!
2. Только не в правый! Держитесь левее!
3. Совершенно неважно - время ожидания в очереди в каждом ряду примерно одинаково.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Очереди в подобных местах имеют некоторую способность к саморегуляции - в том смысле, что каждый стремится встать в ряд наименьшей длины. В результате длины всех рядов и правда примерно одинаковы - но не время ожидания! Дело в том, что время ожидания определяется средним временем прохождения поста одной машиной (открыть окно, передать купюру, взять сдачу и чек, проехать), помноженным на число машин в очереди. Если длина очереди из легковых и грузовых машин одна и та же, то машин в «грузовой» очереди окажется в три-четыре раза меньше, чем в «легковой», - грузовики, особенно фуры, в несколько раз длиннее легковушек. Значит, эту очередь удастся преодолеть гораздо быстрее!
18. Спидометр-лгун
Многие автомобилисты в курсе, что спидометры в машинах дают неверные показания - они всегда завышают показатели скорости (показывают бoльшую, чем в действительности), опытные водители даже знают, на сколько - «на 10 км/ч», говорят они с большой убежденностью. Неужели в XXI веке так и не смогли настроить точно такой простой прибор, как спидометр?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Смогли. Прокатитесь с превышением мимо любого поста ГАИ и обсудите с инспектором эти 10 км/ч.
2. Особенности измерения не позволяют мерить скорость точно.
3. Это намеренная ошибка - госорганы обязывают производителей делать такие спидометры, чтобы реальная скорость была меньше и, значит, езда - безопаснее.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Во-первых, спидометры и правда «завышают». И чтобы в этом убедиться, включите во время движения на смартфоне, например, «Яндекс. Карты» (определяют скорость по GPS) и сравните данные с показаниями спидометра. Во-вторых, задача решается элементарно, если ответить: а как вообще спидометры замеряют скорость? Очевидно, меряется угловая скорость вращения колес (?, число оборотов колеса в единицу времени), а из нее вычисляется линейная (v) - они связаны простым соотношением v = 2??R, где R - радиус колеса. Все хорошо, если мы точно знаем этот радиус, - но это не так, можно надеть низко - или высокопрофильную резину, можно с резиной поменять и диски. В конце концов, он зависит даже от давления в шинах! Так что ошибка в измерении скорости таким методом неустранима. А почему именно завышают (могли бы ведь и занижать)? Видимо, так производители страхуются от претензий водителей: если на спидометре 100 км/ч, а на радаре гаишника 95 км/ч, то это ваша проблема; если же на радаре 105 км/ч, то это проблема автозавода - вы сможете предъявить ему претензии на некорректную работу прибора. Что еще важно отметить:
почему эта задача вошла в «Озадачник. Логику», а не в «Физику»? Просто все эти умозаключения автор сделал, не прибегая вообще ни к каким источникам, - так что это чисто логическое решение, вследствие чего, возможно, неправильное.
19. Удачная отговорка
- Что-то редко ты стал у меня бывать, Павлик, - сказала Алевтина Сергеевна сыну, навестившему ее впервые за две недели. - Почему так?
- Мама, ну что ты! У меня есть только ты и Даша, каждый день после работы я спускаюсь на платформу и сажусь в тот поезд, который раньше подойдет - в твою или ее сторону. По идее, я должен бывать у вас поровну, сам не понимаю, почему поезд к ней попадается чаще…
А серьезно, почему?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Поезда в направлении к Даше идут чаще, чем к Алевтине Сергеевне.
2. Возможно, это как-то связано с расписанием поездов.
3. Павел просто не хочет признаться маме, что у Даши бывать ему нравится больше.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Первый вариант ответа (про то, что к Даше идет больше поездов, чем к маме Павла) стоит отмести хотя бы потому, что он противоречит закону сохранения поездов: судите сами, рано или поздно все поезда скопятся в депо на конечной по Дашиному направлению, и, чтобы эта версия работала в течение продолжительного времени, где-то в стороне Алевтины Сергеевны новые поезда должны рождаться, а в Дашиной «лишние» поезда - исчезать. (Справедливости ради - противоречие снимается, если предположить, что линия метро - кольцевая, но мы этот исключительный случай не рассматриваем.) Проще предположить, что при одном и том же среднем интервале (скажем, 10 минут) поезда в Дашином направлении приходят, для примера, в 17:00, 17:10, 17:20…, а в мамином - в 17:02, 17:12, 17:22. Тогда вероятность попасть к маме у Павла - только 20 % (нужно прийти на платформу в двухминутный интервал с 17:00 до 17:02 и т. п.), а к Даше - 80 % (отрезок от 17:02 до 17:10). Выходит, ничего удивительного, что у Даши Павел гостит чаще.
20. Парадокс Протагора
Протагор был уважаемым юристом в Древней Греции, и как-то он взял в ученики способного, но небогатого юношу, которого он обучал «в кредит»: они условились, что как только ученик выиграет свой первый судебный процесс, то часть гонорара отдаст учителю. Однако юноша решил бросить занятия. Тогда сам Протагор подал иск против ученика, потребовав уплаты обещанной суммы. Удалось ли ему взыскать плату за обучение?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Нет, ведь у ответчика железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению я не должен платить; если же проиграю, то тоже не должен платить, так как условием оплаты за обучение является выигранный мной процесс».
2. Да, ведь у истца железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению ученик должен будет заплатить; если же я проиграю, значит, он выиграет - и должен будет заплатить мне по нашему договору».
3. Спор неразрешим в рамках данного судебного процесса.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Замечательным свойством парадокса Протагора оказывается то, что он и правда неразрешим. Вот уж парадокс так парадокс! Действительно, непогрешимыми оказываются как логика Протагора, так и логика его ученика, при этом их рассуждения приводят к выводам совершенно противоположным. Один из способов разрешения противоречия заключается в рассмотрении не одного, а двух судебных процессов. Положим, в первом Протагор проиграл: суд посчитал, что ученик еще не выиграл ни одного процесса, значит, условие уплаты денег за обучение не возникло. Но после вынесения судебного решения оно уже как раз возникло, и Протагор может спокойно подать второй иск, который он гарантированно выиграет, там уже никаких парадоксов. Для равновесия автор предлагает еще один способ, благодаря которому в выигрыше всегда будет ученик: ему просто следует не самому защищать себя, а нанять адвоката, тогда Протагору никогда никаких денег с него не стребовать.
21. Где доллар?
Трое друзей селятся в гостиницу, номер стоит $27, они скидываются по $9, расплачиваются и идут заселяться. Портье проверяет компьютер и выясняет, что гости бронировали номер через booking.com, а значит, им полагается скидка в $5. Он спешит к ним - вернуть лишнее, по дороге соображает, что $5 на троих не делится, и решает дать каждому по доллару, а $2 оставить себе. Таким образом каждый турист получает обратно по доллару, и номер им в итоге обходится в $8 ? 3 = $24, еще $2 забрал портье, в сумме это дает $26, а было же $27! Как это следует понимать?!
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. $2 следует не прибавлять, а вычитать.
2. Так вообще считать нельзя, потому что внесенная гостями сумма оказывается учтена дважды.
3. Портье должен был отдать по $2 каждому гостю и оставить себе $1, тогда все сходится - $3 ? 2 - $ = $5.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Задача замечательна тем, что неизменно ставит в ступор всех, включая людей, когда-то благополучно ее решивших и даже помнящих, что «решение там какое-то очень простое». Итак, что мы складываем? Деньги, фактически уплаченные гостями ($8 ? 3 = $24), с деньгами, присвоенными портье ($2), и что рассчитываем получить? Ведь эти $2 уже включены в сумму, которую уплатили гости! В этой сумме все: и деньги, полученные гостиницей, и «гонорар» портье. Поэтому если мы хотим получить что-то осмысленное, то из $24 можем вычесть «гонорар» - получим честную цену за номер со скидкой ($22), или прибавить $3 - тогда получается цена за номер без скидки ($27). Наша же сумма ($24 + $2) - это бессмысленная величина «стоимость номера со скидкой плюс двойной гонорар портье», и с чего вдруг она должна совпадать с первоначальной стоимостью номера - решительно непонятно.
22. Кто есть кто?
Известный тип логических задач под условным названием «Про лжецов и молодцов»: лжецы всегда врут (без этого просто не могут), молодцы всегда говорят правду (ложь им омерзительна). Стоят двое, первый произносит фразу «По крайней мере один из нас лжец». Кто же лжец, а кто молодец?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Первый лжец, второй молодец.
2. Второй лжец, первый молодец.
3. Оба одновременно или лжецы, или молодцы, но вот кто именно - не установить.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Вообще, автор находит эти задачки «про лжецов и молодцов» довольно занудными - многие из них, как и предложенная задача, решаются простым перебором вариантов. Предположим, что первый - лжец, но это невозможно, потому что тогда выходит, что лжец высказал истинное утверждение («По крайней мере один из нас лжец» - истинно, если один из них или оба разом - лжецы). Значит, это не лжец, а молодец, утверждение (как у всех молодцов) - истинное, из чего с необходимостью следует, что второй персонаж - лжец.
23. Наугад
На вопросы «Озадачника» многие отвечают наугад, не задумываясь: «Ой, вот это, кажется, подходит, выбираю вариант 1 (2, 3)». Если и вы так делаете, то нечего стесняться! Так поступают очень многие. В этом случае шансы выбрать правильный ответ - 1: 2, верно угадываете один раз из трех. Если бы ответ к текущей задаче вы подбирали наугад, то каковы были бы ваши шансы выбрать правильную версию? Внимание: в ответах четыре варианта, это все меняет!
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 50 %.
2. 1: 2.
3. 25 %.
4. 1: 1.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1, 4
У вас четыре варианта, любой из них вы выбираете с вероятностью 25 %, это шансы 1: 3. Но присмотритесь внимательно: версии № 1 и 4, а именно 50 % и «один к одному», - две формы записи одного и того же (неслучайно говорят даже «пятьдесят на пятьдесят»). То есть половина (два из четырех) вариантов указывают на то, что половина вариантов - правильные, значит, это и есть правильные ответы. А вы, наверное, выбрали вариант № 3?
24. Сколько заработал?
Иван продал автомобиль Кириллу за 1 млн руб. Кирилл поездил месяц, понял, что автомобиль ему не нравится, и предложил Ивану купить его обратно. Тот согласился - но уже за 800 000 руб. Через месяц Алексей предложил Ивану продать машину ему, и они сошлись на 900 000 руб. Встретившись как-то в баре втроем, приятели начали подтрунивать над Иваном:
- Представляешь, Леша, он заработал на мне 200 000! - сказал Кирилл.
- Ага, и на мне еще 100, 300 000 в сумме! И это на друзьях! Совесть есть, Вань?
Сколько же на самом деле выручил Иван?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 1,1 млн руб.
2. 1,2 млн руб.
3. 1,3 млн руб.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Вообще-то на обратном выкупе машины у Кирилла Иван ничего не заработал, а наоборот, потратил 800 000 руб. В следующий раз он мог продать машину и дешевле (машины вообще имеют свойство со временем дешеветь), и тогда он бы только потерял. Ему повезло, что Алексей оказался не слишком практичным и не стал торговаться с другом. Так сколько Иван в итоге выручил? 1 млн руб. в первый раз и еще 100 000 руб. (900 000 -800 000) во второй, всего 1,1 млн руб.
25. Кто хочет стать миллионером?
- Это шоу «Кто хочет стать миллионером?», и у нас вопрос на 1 миллион рублей! Как всегда, четыре варианта ответа - A, B, C и D. Вы готовы отвечать?
- Я бы хотел воспользоваться подсказкой…
- Отлично! Подсказка будет такой: я дам вам четыре совета, из которых только один будет правдивый. Слушайте внимательно. Первый: правильный ответ A или B. Второй: правильный ответ C или D. Третий: правильный ответ B. Четвертый: ответ D - неправильный. Итак, если в итоге вы сможете выбрать правильный вариант, то приз ваш!
Так какой же правильный ответ?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. B.
2. C.
3. D.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Как обычно, такие задачи решаются методом перебора. Но лучше сразу предположить, что правильный ответ - D, и вот почему: с вероятностью 3/4 любая из четырех подсказок - неправильная (так как мы знаем, что правильная только одна), смотрим на четвертую подсказку (как мы установили, скорее всего, ложную), там сказано «Ответ D - неправильный» - значит, он и есть правильный! А правдивым, таким образом, оказывается второй совет («Правильный вариант C или D»). То, что это единственно возможное решение, устанавливается также элементарно: предположим, что ответ не D, тогда четвертый совет правдив, а все остальные ложные. Но тогда из первой и второй подсказок следует, что правильным ответом не может быть ни A, ни B, ни C, ни D - т. е. правильного варианта нет вообще! Мы, конечно, живем в циничный век, но так жестко с игроками в телешоу пока все же не поступают.
26. Крупная премия
- Я собрал вас здесь, чтобы объявить о премии, - сказал руководитель троим своим подчиненным. - Здесь три конверта, в одном 10 000, в другом 20 000, в третьем 30 000 руб. Премию получит только тот, кто сообщит мне какую-то правдивую информацию, причем он получит случайный конверт, у вас нет способов повлиять на размер своей премии!
А вдруг все-таки есть? Что следует сказать, чтобы гарантированно получить 30 000 руб.?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. «Я отказываюсь от жалких десятки и двадцатки, мне дадут 30 000!»
2. «Я не получу конверт ни с 10 000, ни с 20 000».
3. Способов повлиять на размер премии, и правда, нет.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
На первый взгляд и первый, и второй варианты ответа подходят. Они истинны в том, и только в том случае, если произнесший их получит конверт с 30 000 руб., - а премия дается тем, кто сделал истинное утверждение, значит, ему эти 30 000 вроде как полагаются. Но есть нюанс: первое утверждение становится истинным только после получения автором высказывания 30-тысячной премии, до этого момента оно ложно и премию можно не давать. А второе истинно в любом случае и становится ложным, только если размер премии не равен 30 000 руб., - но за ложное утверждение премий не дают, так что руководитель вынужден дать смекалистому подчиненному максимальную премию.
27. Без моста
- Эх, мать его за ногу… - увидев, что мост взорван, лейтенант в сердцах выругался. Роту ж необходимо переправить на тот берег! Тут он увидел у берега двоих мальчишек в маленькой лодчонке.
- Эй, парни! Плывите сюда! Нам нужна ваша лодка!
Но вот ведь незадача - в лодке помещается лишь один солдат, как только он сажает с собой еще кого-то, даже мальчонку, она проседает до бортов с риском утонуть. Как быть?
- Эх, дядя, - снисходительно говорит один из пацанов. - Решение же такое простое! Смотрите-ка…
Что же он предложил?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Одному из мальчишек нужно отправиться на тот берег.
2. Им вдвоем нужно отправиться на тот берег.
3. Командиру следует разместиться в лодке с вещами, солдаты же перейдут вплавь.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Классическая задача на переправу, самая известная из этой серии - про волка, козу и капусту. Здесь все даже проще, чем с козой и капустой. Двое ребят отправляются на другой берег, затем один приводит лодку назад, в нее садится солдат, переправляется, второй мальчишка возвращает лодку. Таким образом в четыре захода (по два раза туда и обратно) переправляется один взрослый, при многократном употреблении указанного алгоритма - вся рота.
28. Двое в лодке
Три супружеские пары должны перебраться через реку, в их распоряжении одна небольшая лодка, которая вмещает лишь двоих. Все трое мужей крайне ревнивы, ни один из них не готов оставить свою жену с другими мужчинами ни при каких обстоятельствах (даже в присутствии их жен). Сумеют ли они переправиться через реку, и если да, то за сколько рейсов?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Это возможно, причем всего-то за шесть рейсов.
2. Это возможно, но придется попотеть - переберутся за 12 рейсов.
3. Ничего у них не выйдет.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Решение у задачи есть, причем оно единственное. Обозначим мужчин как A, B и C, а их жен как a, b, c соответственно. Алгоритм такой: сначала едут a и b, потом a возвращается (это 1-й рейс) и увозит c; далее a возвращается (2-й), а уезжают мужчины B и C, и возвращается одна из супружеских пар (например, B и b; 3-й), B оставляет b с a и переправляет A, после чего уже все мужья остаются на новом берегу, а c возвращается сначала за a, потом за b (4 -6-й). Удивительно, что это единственное возможное решение (если не брать не меняющие сути перестановки пар {A, a}, {B, b} и {C, c}), а также то, что рейсов при всей запутанности истории только 6 - всего на один больше, чем если бы это были неревнивые мужья. Но самое удивительное - если б пар было не три, а хотя бы на одну больше, у задачи вовсе не было бы решения!
29. Фаталист
Руководитель объявил Джонсу об увольнении, но, чтобы все было «по-честному», предложил выбрать одну из бумаг: с его слов, какая-то из них - уведомление об увольнении, а другая - пустышка. Джонс берет одну из бумаг и со словами «Я фаталист и не стану это читать!» съедает ее.
- Что вы наделали, Джонс! Как же мне теперь поступить?
- Просто прочтите то, что написано в оставшейся бумаге.
- О… Это как раз уведомление об увольнении!
- Ура! Значит, я сделал правильный выбор! Я остаюсь!
Почему Джонс повел себя так странно?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Ничего странного: услышал про увольнение после стольких лет службы и немного тронулся с горя.
2. Возможно, он заподозрил, что с бумагами что-то не то.
3. Человека можно понять: он не хотел собственноручно себя казнить.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Джонс рассуждал следующим образом: я знаю босса давно, он человек здравомыслящий и отнюдь не сентиментальный. Для чего тогда ему мог понадобиться этот спектакль с двумя уведомлениями? Очевидно, чтобы отвести от себя негодование: мол, это не я решил, это судьба. Тогда, скорее всего, обе бумаги - одно и то же уведомление об увольнении. Тогда если взять один документ и уничтожить, не читая, то придется прочесть второй документ - там будет сообщение об увольнении. Поскольку босс не сможет признаться, что в первой бумаге было то же самое, он вынужден будет сохранить должность Джонса.
30. Геноцид Ивановых
Как известно, в СССР самой распространенной была фамилия Иванов. Однако, согласно последней (2010 г.) переписи населения, в лидеры вырвались Смирновы, Ивановы отодвинуты на второе место, а на пятки им наступают Кузнецовы. В этой связи у «Озадачника» только один вопрос: Ивановы, что с вами случилось?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Стесняясь банальной фамилии, Ивановы пользовались любым предлогом (выйти замуж, дать ребенку фамилию матери и т. д.), чтобы ее поменять.
2. В отличие от Смирновых и Кузнецовых Ивановы просто не столь плодовиты.
3. Возможно, разрыв между лидерами «фамильного» рейтинга просто не слишком велик.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Начать стоит с признания: автор понятия не имеет, что случилось с Ивановыми. Но здесь полезно обратиться к абсолютным значениям - сколько насчитывается Ивановых и Смирновых? Информация довольно фрагментарна, но ряд источников указывает, что в Москве насчитывается 100 000 Смирновых и 80 000 Ивановых. Как видим, разница невелика, всего-то 20 %! А это значит, что небольшие флуктуации[2 - Флуктуация (от лат. fluctuatio - колебание) - любое периодическое изменение. - Прим. ред.] за одно-два поколения способны поменять положение в рейтинге. К тому же не станем забывать, что Ивановы лидировали в СССР, а Смирновы - в России, а это существенно различные выборки. Добавьте Украину и Беларусь, где своих Ивановых, Смирновых и Кузнецовых пруд пруди - картина может и поменяться. Так что утрата Ивановыми лидерства связана, скорее всего, с этими изменениями - демографическими флуктуациями на протяжении нескольких десятков лет и тем, что измерения проводятся по другой статистической выборке. Одно можно сказать твердо: Ивановых никто не притеснял.
31. Автолюбительские байки
- Представляешь, вчера проколол колесо, снимаю его, ставлю запаску - а гаек-то и нет, ни одной! Куда подевал, не пойму - то ли с обочины скатились, то ли просто не вижу, вечер, темно уже, фонаря нет.
- Во дела! И что же ты, эвакуатор вызвал?
- Да нет, прикрутил колесо, исхитрился!
- Да ну ладно, как это вообще возможно?
А и правда, как?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Нашел гайки где-то в машине.
2. Остановил попутку, у водителя которой оказались запасные гайки.
3. Никак - это придуманная, причем малоправдоподобная байка.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Если бы у водителя оставалась хотя бы одна гайка, это уже было бы решением: закрутил потуже - и можно ехать, очень аккуратно и небыстро, но можно. Но где же ее взять? Есть ли в машине еще такие же гайки? Конечно, есть - на трех оставшихся колесах, обычно по четыре на каждом (иногда - по пять, но для простоты будем считать, что четыре). Если открутить по одной с каждого колеса, то там останется еще по три, и три гайки освобождаются - ими и прикручиваем запаску. Получается довольно надежное крепление - до шиномонтажа точно хватит.
32. На шахматной доске
Маленький Алеша втихаря испортил шахматную доску - на каждой клетке написал маркером по числу (все числа - натуральные, т. е. положительные целые) и при этом (вот же хитрец!) расположил их так, что в каждой строке и в каждом столбце получившейся таблицы число в клетке, расположенной не у края доски, есть среднее арифметическое от суммы двух его ближайших соседей. Какие числа стоят в углах доски, если известно, что их сумма равна 28?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 7, 7, 7, 7.
2. 2, 12, 2, 12.
3. 1, 7, 13, 7.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Эту в общем математическую задачу можно решить логически - методом угадывания. О, зря смеетесь, это очень мощный метод! Например, им с успехом пользовался физик Я. Б. Зельдович, признававшийся: «Я решаю только те задачи, на которые уже знаю ответ». (В «Озадачнике» мы его тоже уже задействовали - см. задачу № 25.) Итак, в каком же самом простом случае число есть среднее арифметическое двух других? Когда все три числа равны между собой. Допустим, все числа на доске равны одному и тому же числу - тогда это число 7 (четыре семерки в углах дают в сумме 28), и это и есть решение. Осталось доказать, что оно единственное, - просто наметим доказательство, не углубляясь в детали. Главное - показать, что каждая строка (столбец) нашей шахматной «таблицы» обязана быть арифметической прогрессией. Далее, поскольку все числа натуральные (никаких отрицательных или не целых), то прогрессии неодинаковых чисел с наименьшей суммой значений в углах - это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; и т. д. - до 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 - т. е. сумма «углов» равна 1 + 8 + 15 + 8 = 32, меньше чем 32 не получится
ни при каких раскладах. Значит, наше решение единственное, все в порядке.
33. Без семьи
Юноша, полностью изобличенный в ужасном преступлении - двойном убийстве собственных родителей, обращается с последним словом к суду и просит о снисхождении. Выслушав его, судья отмечает, что столь циничной речи ему прежде слышать не доводилось, и назначает максимальное наказание, которое предусматривает Уголовный кодекс для такого вида преступлений. Что же такого сказал убийца?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Изложил свои мотивы и спросил судью: мол, а как вы бы поступили на моем месте, ваша честь?
2. Сослался на то, что его близкое родство с жертвами преступления является смягчающим обстоятельством.
3. Сослался на бoльшую, в сравнении с другими душегубами, тяжесть своего положения.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Автор очень доволен - удалось слепить неплохую задачку из старого анекдота. Даже если вы его не знаете (или не вспомнили), на что и был расчет, то вы легко определите правильный вариант ответа простым логическим рассуждением. Первая версия отметается сразу - подобную реплику мог произнести любой преступник («Я хотел есть и поэтому ограбил продуктовую лавку, а как бы вы поступили на моем месте?», «Я увидел, как он смотрит на мою жену, и немедля зарезал его - а как бы вы…» и т. д.). Вторая - также, никогда знакомство или родство с жертвой не было поводом для снисхождения к убийце. Методом исключения остается только третий вариант. Так что же он сказал судье? «Ваша честь, я прошу оказать мне милость и смягчить наказание, ведь я теперь КРУГЛЫЙ СИРОТА!»
34. Радиофобия
- Не смей выходить сегодня из дома! Это очень опасно, по радио сказали, что радиационный фон в десять раз превышает норму! - Жена взывала к осторожности своего супруга, но тот не внял ее просьбе и как ни в чем не бывало ушел на работу. Насколько рискованно он поступил?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Рискованно и глупо, десятикратное превышение - это вам не шутки.
2. Он ничем не рисковал.
3. Если работа недалеко (меньше 30 минут пути), то риска нет - он просто не успеет получить большую дозу облучения.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Задача с небольшим подвохом, поскольку предполагает знание некоторых цифр. Но эта ее неполнота компенсируется пользой от нижеизложенного - так как про радиацию редко кто что знает, отсюда и все связанные с ней страхи. Итак, попробуем ответить: десятикратный фон - это много или мало? Судите сами: нормальный фон - это что-то около 10 мкр/ч (микрорентген - т. е. 10^?6^ рентген). А предельные безопасные нормы облучения, установленные, прямо скажем, с большим запасом - на уровне 10 рентген (уже без 10^?6^!) в год. O'кей, Google, в году 8760 (округлим до 10 000) часов, таким образом в сопоставимых единицах: фон - это 1/10 рентген в год, а доза, после которой можно чего-то начинать опасаться, - в 100 раз больше. Увеличиваем фон в 10 раз, как в условии задачи, - даже в этом случае супругу нечего бояться, если он год проведет под таким излучением, он все равно на целый порядок не дотянет до сколько-нибудь опасной дозы.
35. Про дурачка
- Господа, это Прошка, местный дурачок! Сейчас я покажу вам чудный фокус! - С этими словами озорной господин протянул мальчишке обе ладони: в одной был медный пятак, в другой - мятая ассигнация в один рубль. - Что выбираешь, Прошка?
Прошка схватил монету и, торжествуя, спрятал себе в карман. После тот же фокус с ним проделали еще трижды: мальчик всегда выбирал блестящую монету и никогда - затасканную купюру.
- Я же говорю - дурачок! - повторил господин, и компания, смеясь, проследовала дальше.
А вы как думаете - глупец Прошка или же нет?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Да, если судить по этой истории.
2. Нет.
3. Прошка, может, и глупец, но хитер его продюсер.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Если бы Прошка хоть раз выбрал купюру, то на этом вся его «карьера», разумеется, и закончилась бы. Вряд ли бы кого-то позабавило, если бы он выказал столь рациональное поведение, в этом нет ничего необычного или смешного. Но, выбирая раз за разом монету, он может рассчитывать на то, что фокус господам понравится и они будут желать увидеть его снова и снова - тогда у него будет пусть и невысокий, зато регулярный доход. В приведенной истории он уже получил 20 копеек - еще пять раз так выступить, и заветный рубль у него в кармане. Принимая в расчет, что на попрошайничество несчастных зачастую подбивают корыстные люди, следует признать, что тот, кто подучил Прошку поступать указанным образом, бесспорно, человек изрядной хитрости. А даже если и сам Прошка это придумал, то третий вариант ответа все равно верен - просто тогда выходит, что Прошка сам себе продюсер. Неизвестно, умен он или глуп, но уж точно плут. А то, что хитрость и глупость могут спокойно совмещаться в одном человеке, - общеизвестно.
36. Странное столкновение
Бредущий пешеход прекрасно видит машину, перемещающуюся на небольшой скорости, и вдруг, совершенно неожиданно для него, происходит их столкновение. Как это все случилось?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Водитель не рассчитал траекторию движения и наехал на пешехода.
2. В машину врезался другой автомобиль, а она срикошетила на пешехода.
3. Это не машина наехала на пешехода, а он сам в нее врезался.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
С вами совершенно точно это не раз происходило - в торговом центре, в метро, на выставке и т. п.: вы идете в толпе, и вдруг один из идущих перед вами меняет траекторию - останавливается завязать шнурок, тянется за товаром, отвлекается на телефонный звонок, - и вы немедленно в него врезаетесь. Вы просто не ожидали, что это случится, - если бы хотя б на мгновение такое предположили, то успели бы остановиться. Замените человека на автомобиль (движущийся так же медленно - на парковке или в пробке), и ровно такая же ситуация становится возможной: машина (неважно, как она движется: в направлении от вас или же проезжает мимо, и вы рассчитываете, что она успеет проехать к тому моменту, когда ваши пути пересекутся) неожиданно тормозит, и сразу - бамс! - ушиблена коленка и перепачканы в пыли штаны.
37. Тарантиновщина
Диалог, так и не вошедший в сценарий «Бешеных псов»[3 - «Бешеные псы» - культовый фильм американского режиссера Квентина Тарантино, снятый в 1991 г.], в сцене участвуют три героя - мистер Белый, мистер Синий и мистер Коричневый:
- Забавно, мы трое - Белый, Синий и Коричневый, и костюмы у нас - белый, синий и коричневый, но ни один костюм не совпадает с кличкой. Надо же было так вырядиться! - сказал герой в синем костюме.
- А и верно, вот смех! - ответил ему мистер Белый.
Третий же герой промолчал. Кстати, какого цвета у него костюм?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Белого.
2. Коричневого.
3. Невозможно определить - не хватает данных.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Задача может поставить в тупик кажущимся обилием вариантов, на деле же их гораздо меньше. Для простоты обозначим мистера Белого, Синего и Коричневого как A, B и C, а цвета их костюмов как a, b и c соответственно. У каждого может быть костюм двух возможных цветов - у A b или c, у B a или c, у С a или b, и на первый взгляд число комбинаций - 8 (2?), но есть еще одно важное условие: цвета костюмов у разных героев не могут совпадать. Тогда если у A - b, то у C - a, а у B - c, а если у A - с, то у B - a, а у C - b, как видим, возможных вариантов только два. Осталось выбрать из двух правильный, и это уже очень легко: у A (Белого) костюм не b (синий), ведь в синем костюме первый герой. Значит, вот что получается: Белый в коричневом, Синий в белом, Коричневый в синем. Третий, промолчавший герой - это именно мистер Синий в белом костюме.
38. Травмоопасная каска
До Первой мировой войны никаких касок у британских солдат не было и слишком многие получали ранения в голову. Тогда командование наконец озаботилось выдачей касок, а через некоторое время решили проверить, что дала эта мера, - и ахнули. Мать честная, да количество раненых выросло едва ли не в разы! Саботаж, измена!
Если отбросить истерику - что же случилось на самом деле?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Знамо дело - поставщики на металле сэкономили, солдаты, полагая, что надежно защищены, перестали укрываться тщательно - вот вам и результат.
2. Солдаты травмировались самими касками, из-за их неудачной конструкции.
3. Тыловые крысы, как всегда, считают не то и не так.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Если бы военные потери сводились только к раненым, то тревога командования была бы обоснованной. Но - не сводятся, есть еще, увы, и убитые. И если прежде солдата убить было проще, то с введением касок - сложнее. А то, что нас не убивает, - нет, не всегда делает нас сильнее, чаще просто ранит. В общем, число погибших снизилось, число раненых возросло, вот и весь ответ.
39. Случай в лифте
Один господин проживал в небоскребе на 17-м этаже и имел такую особенность: спускался он всегда на лифте до первого этажа, когда же он возвращался, то на лифте поднимался когда до 14-го, когда до 15-го, а дальше шел пешком. В чем тут дело?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Что-то не то с лифтом (кнопки там, что ли, хулиганы пожгли?).
2. Что-то не то с господином.
3. Подняться по лестнице на два-три пролета - отличное физкультурное упражнение!
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Почему он не нажимает на кнопку «17»? Очевидно, или не хочет, или не может. Причем скорее второе - если бы ему нравилось подниматься пешком, то почему он оставлял бы себе только два-три пролета? «Физкультурничать», так уж всерьез. К тому же тогда неясно, почему он пешком никогда не спускается. В общем, видимо, действительно не может. Версия про сожженные кнопки тоже неудовлетворительна - она не объясняет, почему он поднимается на разные этажи, а не всегда на 15-й (если из строя вывели «16» и «17») или всегда на 14-й (если сломана еще и кнопка «15»). Короче, господин - лилипут, допрыгнуть может до кнопки «14», если повезет - до «15», выше - никак.
40. Наперсточник с дипломом
Дипломированный философ от безденежья подался на вокзал, обыгрывать пассажиров в наперстки. Игра скоро ему наскучила, и он решил ее модифицировать - раскрасил наперстки в три цвета и написал: на белом «Шарик под этим наперстком»; на красном «Шарик не под этим наперстком»; на черном «Шарик не под белым наперстком».
- Уважаемые, подходим, пробуем свою удачу! Говорю вам, как родным: только одно из приведенных утверждений истинно! А теперь угадываем: где шарик?
Что ж, сыграем и мы. Шарик:
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Под белым наперстком.
2. Под красным наперстком.
3. Под черным наперстком.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Следует отметить, что утверждения № 1 и 3 («Шарик под этим [белым] наперстком» и «Шарик не под белым наперстком») суть взаимоисключающие, значит, одно из них точно истинно, другое - точно ложно. Если истинно № 1, то истинным оказывается и № 2 («Шарик не под этим [красным] наперстком»), а по условию истинное высказывание из трех только одно - значит, это утверждение № 3, а сам шарик под наперстком № 2 - т. е. под красным. Кстати, если решать задачу методом угадывания (который уже помогал нам в задачах № 25 и 32), то к тому же результату приходишь гораздо быстрее: с вероятностью 2/3 утверждение «Шарик не под этим наперстком» ложно, значит, скорее всего, шарик именно под этим (красным) наперстком и находится. Проверяем эту версию - все сходится, выкладывай денежки, философ!
41. Где же деньги?
Два отца дают деньги своим сыновьям. Первый дал сыну 1000 руб., второй 500 руб. После одаренные сыновья решили посчитать, сколько же у них денег, и удивились - у них двоих оказалось в сумме всего 1000 руб. Как так?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Тут какая-то путаница, кто чей сын.
2. Это братья, отец дал 1000 руб. одному из сыновей с тем, чтобы он поделился со вторым.
3. Первый отец узнал от второго, сколько тот дает своему сыну, решил, что 1000 руб. - это перебор, и забрал половину.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
В сумме у обоих 1000 руб. - ровно столько, сколько первый отец дал своему сыну. Такое возможно только в том случае, если второй отец давал деньги своему сыну именно из этой суммы, - значит, второй отец, что очевидно, приходится сыном первому отцу, всего персонажей не четверо, а трое, а дело обстояло так: дедушка дал сыну 1000 руб., а тот, в свою очередь, своему сыну (и внуку первого) - 500, в итоге у сына и внука по 500 руб. на нос.
42. Кто преступник?
- Холмс, вот что установил Лестрейд. Алиби есть у всех подозреваемых, кроме троих - Бозуорта, Кендала и молодого Олдриджа. При этом Кендал настолько зависим от Олдриджа, что, Лестрейд готов биться об заклад, ни за что бы не отправился на дело без него. Еще факт: замок не был взломан - значит, это сделал не Бозуорт, уж что-что, а замки он вскрывать не умеет, тот еще дуболом. Все трое отрицают свою причастность к совершенному преступлению. И как тут разобраться?..
- Элементарно, Ватсон! Очевидно, что виновен…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Олдридж.
2. Кендал.
3. Бозуорт.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Мы оборвали мистера Холмса на полуслове, а если бы дали ему закончить фразу, то выяснили бы, что виновных, возможно, несколько (хотя и необязательно), но вот про одного он знает наверняка. И это, конечно, молодой Олдридж. Докажем это от противного (мы, кстати, слишком долго пренебрегали этим прекрасным методом): предположим, что Олдридж в деле не замешан. Но тогда в нем не участвовал бы также и Кендал, остается один Бозуорт, а тот, в свою очередь, не смог бы вскрыть замок. А замок таки был вскрыт - мы пришли к противоречию, значит, Олдридж на 100 % виновен. Действовал ли он один, или ему помогал верный Кендал, или туповатый Бозуорт, или оба сразу - это еще предстоит выяснить инспектору Лестрейду. Но теперь, точно зная, что Олдридж виновен, и имея все доказательства его вины, инспектор сможет с легкостью его расколоть на предмет наличия соучастников.
43. Загадка близнецов
- Ну, тут-то вы точно не разберетесь, Холмс. - Голос Ватсона звучал победно. - Ограбили ювелирную лавку Моргенштернов, подозреваемые: Чапмен и братья Мейси. Мейси - близнецы, неотличимые один от другого, довольно трусливые - Лестрейд уверен, что ни один из них не пойдет на дело без сообщника. Кстати, есть свидетели, которые видели одного из Мейси в Сохо как раз в то время, когда происходило ограбление, - его запомнили, так как он участвовал в шумной драке. А про Чапмена известно, что тот нелюдим и всегда работает в одиночку. Это все, что Лестрейду удалось накопать. Так и кто грабитель?
- Элементарно, Ватсон! Очевидно же, что…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Виновен Чапмен.
2. Виновен один из Мейси, но который именно - не определить.
3. Холмс ошибся, а Ватсон прав: установить грабителя по имеющимся данным не представляется возможным.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Вообще-то это классическая задача, решением которой обычно указывают вариант № 1. Рассуждают при этом следующим образом (от противного): предположим, Чапмен невиновен - значит, виновен один из близнецов. Но близнец без соучастника на дело не пойдет, кто тогда соучастник? Чапмен? Но это противоречило бы нашей гипотезе. Второй близнец? Исключено: у него алиби, он в это время дрался в Сохо. Приходим к противоречию: предположение неверно, следовательно, виновен Чапмен, и только Чапмен (так как работает без напарников). Но автор категорически не согласен с тем, что это решение единственное, так как считает столь же вероятным еще одно: Мейси действуют как соучастники, при этом разделив роли - один грабит лавку Моргенштернов, другой - создает им алиби, устраивая драку. Даже если грабителя потом опознают (но не задержат на месте преступления), он легко отговорится тем, что его перепутали, - а с учетом неразличимости близнецов предъявить обвинение кому-то одному не представляется возможным. В общем, приведенное второе решение также совершенно правомерно и полностью удовлетворяет условиям задачи. Если
сомневаетесь - попробуйте опровергнуть.
Математика
44. Почем булочки?
Паша и Алеша решили купить по булочке. Но у них не хватает денег: у Паши рубля, у Алеши девяти рублей.
- А давай, - говорит Паша, - скинемся на одну булочку хотя бы? Съедим пополам.
Алеша соглашается, они скидываются и… все равно не хватает.
Так сколько же стоила булочка?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 9 руб.
2. 10 руб.
3. 11 руб.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Если вы начали писать какие-то уравнения, вернее, неравенства, то так, конечно, тоже можно действовать: вы узнали, что булочка стоит дешевле десяти рублей, и тем самым пришли к правильному варианту. Но можно решить быстрее, простым рассуждением. Если Паше не хватало всего одного рубля, чтобы купить булочку, и с Алешиными по-прежнему не хватает, то это может означать только одно: что у Алеши вообще нет денег. И если на покупку ему недостает девяти рублей, значит, столько булка и стоит.
45. Беспокойная муха
В тоннель длиной 1 км с разных концов и одновременно въезжают два поезда, скорость каждого - 50 км/ч. Своим шумом они будят муху, которая спала у одного из въездов. Муха начинает улетать от поезда со скоростью 100 км/ч, долетев до состава, идущего навстречу, резко разворачивается и летит обратно, затем снова разворачивается и т. д. Какой путь успеет проделать муха к моменту, когда поезда встретятся?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 1 км.
2. 1,5 км.
3. 2 км.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Муха пролетает по сложной траектории, но для решения задачи она неважна - важно знать, что в любой момент времени скорость мухи одна и та же (100 км/ч). Чтобы посчитать путь, достаточно знать время, что муха была в полете, - это время, за которое поезда достигнут середины тоннеля, т. е. 0,5 ? 1 км ? 50 км/ч = 0,01 ч. Теперь перемножим это время и скорость мухи, получаем 1 км - тот путь, что проделало насекомое.
46. Справедлива ли игра?
Игра «Попытай счастья» проводится по таким правилам: вы делаете ставку на какое-то число (от 1 до 6), выбрасываются три игральных кубика, если на одном из них выпало загаданное вами число, вам возвращается первоначальная ставка плюс еще столько же, если на двух кубиках - возвращается ставка плюс выигрыш - удвоенный размер ставки, если сразу на трех кубиках, то вы получаете первоначальную ставку плюс ее утроенный размер. Справедлива ли эта игра?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Справедлива, в среднем игрок получает столько же, сколько отдает.
2. Была бы справедливой, если бы почаще выпадали двойные и тройные выигрыши.
3. Несправедлива, игрок теряет деньги как раз из-за двойных и тройных выигрышей.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Справедливая игра - та, в которой в среднем игрок не выигрывает и не проигрывает. Такая игра не в интересах казино, поэтому игры против казино всегда не вполне справедливы. Так, если на рулетке вы поставите по доллару на все номера сразу (включая зеро), то потратить придется $37, а выиграете, хотя и гарантированно, только $36, 1/37 всех ставок в среднем всегда достается казино. А что с игрой «Попытай счастья»? Поставим по доллару на каждый номер. Если выпали три разных значения, то мы при своих: угадав три выпавших номера, мы получили с каждого из них по $2, значит, нам вернули $6, ровно столько мы и ставили. Хуже, если на двух кубиках выпал один и тот же номер: тогда мы получим $3 (начальная ставка плюс ее удвоенный размер) за повторный номер и еще $2 за другой выпавший номер. Выходит, возвращается только $5 из $6, 1/6 поставленных денег мы потеряли. Ну и самый грабительский вариант - это когда один номер выпал на всех трех кубиках: тогда из $6 нам вернется только $4, потери составляют 1/3! Если аккуратно посчитать вероятности выпадения двойных и тройных значений костей, мы придем к тому, что
примерно 1/12 всех ставок идет в пользу организатора игры. Из этого понятно, что игра «Попытай счастья» по меньшей мере втрое несправедливее игры на рулетке!
47. Митин прямоугольник
У Мити есть набор одинаковых картонных квадратов, из которых он выкладывает различные фигуры. В частности, ему нравится выкладывать прямоугольники, причем такие, у которых число внешних (идущих по периметру прямоугольника) квадратов равно числу внутренних (все остальные - те, что внутри). Сколько таких прямоугольников может выложить Митя?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Это невозможно в принципе, число внешних и внутренних квадратов всегда будет различным.
2. Такие прямоугольники существуют, их ровно две штуки.
3. Если число квадратов в наборе неограниченно, то таких прямоугольников может быть сколько угодно.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда число внутренних квадратов - это площадь «обрезанного» прямоугольника, у которого срезали внешние квадраты, расположенные по периметру, и оно равно (a - 2) (b - 2). Число же внешних квадратов - это 2a + 2b - 4. Приравнивая две эти формулы и определяя b через a, получим b = 4 (a - 2)/(a - 4). На первый взгляд, ввиду того, что a может принимать какие угодно значения, у нас и правда бесчисленное множество решений. На деле это не так, потому что решения нас устраивают не абы какие, а только диофантовы (от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, III век н. э.) - т. е. такие, которые выражаются в целых числах (требование, чтобы число квадратов было целым, представляется самоочевидным). А таких решений только два: a = 5, b = 12; a = 6, b = 8. Есть еще симметричные решения, где a и b меняются местами (a = 8, b = 6 и a = 12, b = 5), но это на деле те же самые прямоугольники, просто повернутые на 90°.
48. Ползи, улитка, по склону Фудзи
Улитка за день взбирается по склону Фудзи[4 - Фудзияма, Фyдзи - действующий вулкан на о. Хонсю в Японии.] на 150 м, к ночи засыпает, выпадает роса, и улитка соскальзывает по влажной горе вниз на 100 м. Она начала свой путь 1 июня. Когда улитка доберется до вершины? Высота Фудзи почти 3800 м.
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 7 июля.
2. 13 августа.
3. 15 августа.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Какой высоты достигает улитка на n-й день? На первый день 150 м (потом сползает на 100 м назад), на второй день 200 м (опять на 100 м вниз), 250 м и т. д. Значит, мы можем записать, на какую высоту взбирается улитка, в виде формулы h[n] = 150 + 50 (n - 1), где n - количество пройденных дней (1 июня - день первый, n = 1). Улитка на вершине, когда h[n] = 3800 (то, что она ночью спустится с вершины вниз, для нас уже неважно), 50n = 3700, n = 74 - улитка покорит Фудзи на 74-й день, который наступит 13 августа.
49. Почем картридж?
Принтер с картриджем стоит 1000 руб., при этом и принтер, и картридж можно купить по отдельности, и принтер в этом случае на 300 руб. дороже картриджа. Сколько стоит картридж?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 300 руб.
2. 350 руб.
3. 400 руб.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Из 1000 вычитаем 300 - получаем 700, ровно столько стоят два картриджа. Делим пополам - в ответе 350 руб.
50. Чтобы делилось на 7
Двое играют в такую игру: по очереди слева направо пишут цифры 20-значного числа. Задача первого игрока (он записывает 1-ю, 3-ю, 5-ю и т. д. цифры) - сделать так, чтобы итоговое число не делилось на 7, второго - чтобы, наоборот, делилось. У кого из игроков больше шансов на выигрыш?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Первый выигрывает в шести случаях из семи.
2. Первый гарантированно выигрывает.
3. Второй гарантированно выигрывает.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Самое важное в этой игре - последний ход, и его предстоит сделать второму игроку. Перед ним 19 цифр, осталось дописать последнюю цифру, итоговое число будет A ? 10 + B, где A - это число, полученное на предпоследнем шаге, B - та самая последняя цифра. Любое число A ? 10 можно представить в виде С ? 7 + D, где C - целое число, D - остаток от деления A ? 10 на 7 (число от 0 до 6). Если в качестве B брать цифру 7 - D, итоговое число будет (C + 1) ? 7 и оно заведомо делится на 7, второй игрок всегда выигрывает в этой игре.
51. Где дешевле?
Два узбека, один из Бухары, другой из Самарканда, спорят о ценах.
- У нас все гораздо дешевле, - говорит бухарец. - Вот смотри, килограмм арбузов у нас стоит на 30 сумов меньше, чем у вас килограмм фиников.
- Ага, а зато у вас, - спорит самаркандец, - килограмм фиников на 60 сумов дороже, чем килограмм арбузов на рынке Самарканда!
Где же в действительности ниже цены, если на каждом рынке финики стоят вдвое дороже арбузов?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Цены в обоих городах одинаковы.
2. В Бухаре дешевле.
3. В Самарканде дешевле.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Простая арифметическая задачка, но ответ на нее совсем неочевиден, чтобы суметь ответить с ходу, не решая. Итак, пусть x - цена арбузов в Бухаре, y - в Самарканде (финики в Бухаре и Самарканде стоят 2x и 2y соответственно). Тогда у нас два уравнения: x + 30 = 2y, 2x - 60 = y, решая их, получаем x = 50, y = 40, в Самарканде, выходит, все на 20 % дешевле, чем в Бухаре.
52. Случай с толстым Бо
Класс в полном составе отправляется на пейнтбол. Среди учеников особо выделяется Боря, которого все зовут Толстым Бо, он и правда не по годам широк.
- Бо, а ты же превосходная мишень! Вот в кого удобнее всего будет целиться, ты уж не обижайся, старик!
На полигоне всем раздали оружие и по четыре заряда к нему. После игры ребята, полностью расстреляв боекомплекты, подсчитывают «раны», и вот что выясняется: у трети класса (не считая Бо) по одному ранению, у другой трети - по два, и еще у трети - по три. Ну а на бедном Бо насчитали… 46 попаданий!
Вопрос: сколько учеников в классе Толстого Бо?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 17.
2. 22.
3. 25.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
x - искомое число учеников, посчитаем их «раны»: 1 ? (x - 1)/3 + 2 ? (x - 1)/3 + 3 ? (x - 1)/3 + 46, и созданы они были теми зарядами, что ребята друг в друга выпустили, общим числом 4x. Таким образом, уравнение на x будет: 2x - 2 + 46 = 4x, x = 22.
53. Какое меньше?
Числа A, B, C и D связаны соотношениями: A - 3 = B + 8 = С - 5 = D. Какое из чисел является наименьшим?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. B.
2. C.
3. D.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Сравним все числа с D: A больше D на 3, C больше D на 5, а B меньше D на 8. Значит, B меньше и D, и A, и C, т. е. меньше всех.
54. Разноцветные шары
В коробке лежат 5 белых, 8 красных и 13 черных шаров. Какое минимальное число шаров нужно вытащить (вслепую, их цвет в момент выбора нам неизвестен), чтобы там было по меньшей мере два шара одного цвета?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Четыре.
2. Шесть.
3. Девять.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Если нам очень повезет, сразу два первых шара будут одного цвета (скорее всего, черного). В самом же худшем случае три первых шара будут разного цвета: белый, красный, черный. Но четвертый шар будет либо белый, либо красный, либо черный, иного не дано. Значит, вытащив четыре шара, мы гарантированно имеем два одного цвета.
55. Сколько в коробке?
Размеры коробки для кубиков - 40 ? 30 ? 10 см. Сколько кубиков в коробке?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 24.
2. 48.
3. 96.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Очередная диофантова задача (см. задачу № 47). Мы предполагаем, что кубики плотно заполняют коробку, т. е. занимают весь ее объем. Что ж, посчитаем размер кубика для варианта 1. Объем кубика будет равен 12 000 куб. см (объем коробки) разделить на 24 (количество кубиков), что дает 500 куб. см. Длина ребра кубика суть корень кубический из этого числа, не выражается в рациональных числах и приближенно равна 7,93 см. Очевидно, кубики с таким ребром плотно в нашу коробку не вместить, ведь ни 20, ни 30, ни 40 на 7,93 нацело не делятся. Аналогично с вариантом 2 (48 кубиков), объем кубика получается 250 куб. см, длина ребра - 6,3 см. А вот когда кубиков 96, то объем каждого - 125 куб. см, а значит, длина ребра 5 см, и такие кубики спокойно уместятся в нашей коробке, по восемь кубиков в длину, шесть в ширину и два в высоту.
56. Москва резиновая
Ситуация с пропускной способностью метро - тупиковая: интервал между поездами уменьшить нельзя (тогда они начнут догонять друг друга в тоннелях), длина состава ограничена длиной платформы - все, потолок, увеличить пассажиропоток решительно невозможно! Но тут в мэрии предлагают неожиданное решение: сцеплять поезда друг с другом (k = 2, 3, 4 состава вместе), чтобы такой суперпоезд останавливался на каждой платформе k раз, для посадки и высадки пассажиров из каждой из своих частей. Мол, время простоя на станции несколько увеличится, зато пассажиров такой поезд в k раз больше сможет взять за один рейс! Интересное решение, но будет ли от него толк?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Разумеется, да, отличное решение!
2. Смотря для кого: для метрополитена в целом да, для пассажиров - нет.
3. Вот же глупость какая!
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
У нас есть четыре параметра: вместимость состава (обозначим Q) и три времени - среднее время в пути между двумя станциями (t^тоннель^), время на посадку-высадку пассажиров (t^посадка^) и время сдвига поезда на платформе (t^сдвиг^) - то, за которое суперпоезд переместится на длину одного состава обычного поезда. При этом пассажиропоток (P) определяется как P = kQ/t, где t - полное время, t = t^тоннель^ + kt^посадка^ + (k - 1)t^сдвиг^ (где k раз совершили посадку-высадку и k - 1 раз сдвинули состав). Перепишем в более компактной форме: t = t^0^ + (k - 1) ? ?, t^0^ = t^тоннель^ + t^посадка^ (стандартное полное время для обычного поезда), ? = t^посадка^ + t^сдвиг^ - «добавка» за счет удлинения. Что можно сказать о пассажиропотоке? Если k очень большое (k >> 1), то, как нетрудно заметить, P > P^0^t^0^/?, где P^0^ = Q/t^0^ - пассажиропоток обычного поезда. Если t^0^ < ?, то задача теряет смысл - суперпоезд будет возить меньше пассажиров, чем обычный. Но возьмем реалистичные значения, скажем, t^0^ = 3 мин, ? = 1 мин. Тогда пассажиропоток мы можем, в пределе, утроить (если возьмем очень большое
число составов k). Впрочем, уже при k = 4 пассажиропоток возрастет вдвое! Правда, и время в пути возрастет также вдвое (за счет долгого стояния на станциях). Ехать придется долго - зато свободно.
57. Такие шахматы
[5 - Эту замечательную задачу автор подсмотрел в книге И. Стюарта «Величайшие математические задачи» (см. «Основная литература по теме»).]
У вас есть шахматная доска и 32 костяшки домино, причем размер костяшки - аккурат две клетки доски. Таким образом, вы без труда и большим числом способов сможете закрыть шахматную доску фишками домино. Срезаем по одной клетке в углах доски на концах одной из диагоналей - удастся ли 31 костяшкой закрыть все клетки такой доски?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Нет, это невозможно.
2. Да, одним-единственным способом.
3. Да, и способов сделать это - множество.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Ответ поражает - интуитивно-то нам кажется, что можно закрыть обрезанную доску 31 костяшкой, - но еще больше поражает красота и простота доказательства, почему этого сделать нельзя. Обратим внимание, что когда мы закрываем целую, неиспорченную доску, то каждая костяшка покрывает две клетки разного цвета - и черную, и белую, сделать так, чтобы клетки были одноцветные (две белые или две черные), не получится никоим образом. Теперь отметим тот факт, что клетки на концах любой диагонали доски 8 ? 8 - одного цвета (для определенности будем считать, что белые), таким образом, после срезания двух клеток у нас на доске будут 62 белые и 64 черные клетки, или, иначе, у двух черных клеток не будет пары - отсюда с необходимостью следует, что покрыть такую доску 31 костяшкой не представляется возможным. Разве что одну из костяшек мы тоже решим порезать.
58. Какой длины?
Берем отрезок длины 1, выламываем из него посередине треть и заменяем ее на два отрезка, представляющие собой две стороны равностороннего треугольника, третьей стороной которого служит выброшенный нами отрезок. Затем с каждым звеном полученной ломаной проделываем то же самое, потом с новой ломаной, и так далее до бесконечности. Какой будет длина полученной в итоге линии?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 4/3.
2. Сумма бесконечного сходящегося ряда 1 + 1/3 + 1/3? +… = 3/2.
3. И не сосчитаешь!
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Фигура, которая получается в итоге, - это кривая (еще говорят «снежинка») Коха (по имени автора, шведского математика Хельге фон Коха), один из самых известных фракталов - видимо, потому, что его проще всего рисовать. А еще несложно посчитать его длину на каждом этапе «сборки»: когда мы ломаем отрезок первый раз, мы заменяем среднюю часть (длины 1/3) на два отрезка, каждый такой же длины (треугольник по условию равносторонний). Сложим длины всех отрезков (1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3), получим 4/3. А какой будет длина ломаной на втором шаге? Очевидно, длина каждого маленького отрезка (1/3) увеличится, как видим из предыдущего рассуждения, в 4/3 раз, всего таких отрезков четыре, значит, суммарная длина всей ломаной будет уже (4/3)?. И с каждым шагом эта степень будет увеличиваться, длина ломаной растет, причем экспоненциально, т. е. с каждым шагом все быстрее! Так, уже на четвертом шаге она будет превышать первоначальную втрое, на десятом - в 18 раз, на сотом - в 3 трлн раз! Фракталы на плоскости - удивительные фигуры, не имеющие ни длины (она, как видим, бесконечна), ни площади (она-то как раз равна
нулю). Любопытно, что в жизни фракталы, про которые большинство людей даже не знает, встречаются на каждом шагу: это и деревья, и облака, и, конечно, снежинки.
59. Что загадать?
Вам и сопернику предлагают загадать натуральное число. Если загаданные вами числа совпадут, то вы оба получаете призы, если же они разные, то не получаете ничего. Какое число следует загадать?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Один.
2. Десять.
3. Любое, вероятность выигрыша одинакова и ничтожно мала.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Чем больше диапазон чисел, тем меньше шансов, что загаданное вами число совпадет с числом соперника. Так, если это диапазон от 1 до 10, шансы на совпадение только 10 %, если от 1 до 100, то только 1 %. Поэтому вам нужно максимально сузить этот диапазон, и это возможно в случае, если в диапазон попадает только одно число - от одного до одного. Если соперник станет руководствоваться той же логикой, то загаданные числа совпадут, приз будет ваш.
60. За спичками
В коробке лежит 21 спичка. Вы ходите первым, в игре у вас один соперник, каждый в свой ход (ходят поочередно) может взять от одной до трех спичек. Тот игрок, который не может больше сделать ход (спичек не осталось), проиграл. Можете ли вы выиграть в этой игре?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Да, тот, кто ходит первым, всегда может обеспечить себе победу.
2. Нет, выигрывает тот, кто ходит вторым.
3. Исход игры не предопределен, победит сильнейший.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Первый игрок гарантированно выигрывает, если берет столько спичек, чтобы остаток всегда был кратен 4. Для этого на первом ходу ему нужно взять одну спичку (остаток 20), затем взять столько, чтобы остаток равнялся 16 (если соперник взял одну - взять три; взял две - взять две; взял три - взять одну), затем, действуя аналогичным образом, взять столько, чтобы остаток равнялся 12, 8, 4, - когда остается четыре спички, сколько бы ни взял соперник, одну, две или три, вы забираете то, что осталось, тем самым обеспечив себе победу.
61. Путь самурая
Два самурая вышли одновременно - один направился из Токио в Киото, другой в обратном направлении, из Киото в Токио. Они встретились в 12:00, поклонились друг другу, как того требует кодекс самураев, и пошли дальше. Первый пришел в Токио в 16:00, второй в Киото в 21:00. В котором часу они начали свой путь? (Предполагаем, что дорога между Токио и Киото одна, а шли они все время с постоянной скоростью.)
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. В 4:00.
2. В 6:00.
3. В 8:00.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
На первый взгляд, у нас слишком много неизвестных и слишком мало уравнений. Нам неизвестны: скорость первого самурая v^1^, скорость второго v^2^, расстояние от Токио до Киото L, а еще то, что требуется установить, - время, когда они отправились в путь t. А какие нам известны соотношения, связывающие их? L = v^1^ ? (16 - t) = v^2^ ? (21 - t). И еще мы знаем, что в момент, когда они встретились (12:00), общее пройденное ими расстояние также равнялось L: L = (v^1^ + v^2^) ? (12 - t). Как видим, L из этих соотношений мы легко можем исключить, и тогда у нас останется только два уравнения с тремя неизвестными v^1^, v^2^, t. То, что неизвестных больше, чем уравнений, показывает, что все их определить мы не сможем, найти скорости самураев не представляется возможным, но это и не требуется, ищем время t. Избавляемся от скоростей, переходя к их отношению v^1^/v^2^ и замечая, что из наших уравнений вытекает: это отношение равно (21 - t) ? (16 - t). В конечном итоге у нас получается квадратное уравнение t? - 24t + 108 = 0, которое элементарно решается и дает два корня t = 12 ± 6 = 6; 18. Очевидно, нам
подходит только первое решение в силу простого соображения: они не могли стартовать позже, чем финишировал первый самурай (а это случилось, напомним, в 16:00).
62. Сколько накачал?
Семену подарили новый смартфон, и он закачал туда сразу до полутораста игр (определенно, никак не меньше ста). 80 % игр бесплатные, 1/9 - условно платные (freemium, за саму игру платить не надо, но за «апгрейды» - новые уровни, артефакты и проч. - придется), остальные платные. Сколько платных игр скачал Семен?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 12.
2. 15.
3. 35.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Сначала нужно определить, сколько всего игр скачал Семен. Многим покажется, что любой ответ в диапазоне от 100 до 150 подходит. Так, да не так, потому что есть еще два условия: и 4/5 (80 %), и 1/9 от всех игр должны быть целыми числами (а и правда, не мог же Семен скачать дробное число бесплатных или freemium игр). По сути, перед нами еще один пример диофантовой задачи (см. задачи № 47 и 55). Значит, общее число игр должно быть кратно 5 и 9, единственное число в диапазоне 100 -150, удовлетворяющее этому условию, - это 135. Бесплатных игр из них 108, freemium 15, оставшиеся 12 игр - платные.
63. На катке
Фигурист выступает на катке, в судейской бригаде пятеро судей. По итогам выступления ему присуждают средний балл 5,8, но затем происходит скандал, одного из судей решают удалить с соревнований, в результате средний балл фигуриста снижается до 5,6. Сколько ему поставил удаленный судья?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Невозможно определить, не хватает данных.
2. 6.0.
3. 6.6.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Запишем оценку каждого судьи в виде: 5,8 + xi (i = 1, 2, 3, 4, 5). Очевидно, что сумма x^1^ + x^2^ + x^3^ + x^4^ + x^5^ = 0 из самого определения среднего балла: средний балл - это сумма оценок, деленная на количество судей, мы получаем 5,8 ? 5/5 + (x^1^ + x^2^ + x^3^ + x^4^ + x^5^)/5 = 5,8, сократив в обеих частях уравнения 5,8, получим искомое равенство. Его можно переписать в виде (считаем, что удаленный судья - пятый по счету): x^5^ = -(x^1^ + x^2^ + x^3^ + x^4^). Мы знаем, что после удаления пятого судьи средний бал снизился до 5,6, запишем это математически: 5,8 ? 4/4 + (x^1^ + x^2^ + x^3^ + x^4^)/4 = 5,6, откуда после простейших преобразований следует: x^1^ + x^2^ + x^3^ + x^4^= -0,8. Теперь уже элементарно найти оценку, данную пятым судьей: это 5,8 + x^5^ = 5,8 - (x^1^ + x^2^ + x^3^ + x^4^) = 6,6. Также несложно теперь и ответить на вопрос, в чем заключался скандал и почему пятого судью удалили: дело в том, что максимальная оценка в фигурном катании составляет 6 баллов. Если судья ставит больше, то, значит, что-то с ним не то.
64. Про конфеты
У Алеши А конфет, у Бори Б, у Вити В и у Гаврилы Г. Известны лишь произведения: А ? Б = 6, Б ? В = 12, В ? Г = 24. Сколько конфет у Гаврилы, если известно, что у Бори их больше, чем у Вити?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 4.
2. 6.
3. 12.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Проще всего начать с Алеши и Бори, поскольку произведение А ? Б = 6 минимально, значит, минимально и число комбинаций А и Б. Следует исходить из того, что А и Б - положительные целые (опять этот Диофант! См. задачи № 47, 55 и 62), так как отрицательное количество конфет есть нонсенс, а про обкусанные конфеты задач задавать тоже не принято. Тогда возможны следующие варианты: А = 1, Б = 6, В = 2, Г = 12 (1); А = 2, Б = 3, В = 4, Г = 6 (2); А = 3, Б = 2, В = 6, Г = 4 (3); А = 6, Б = 1, В = 12, Г = 2 (4). У Бори больше конфет, чем у Вити, только в первом случае, во всех прочих Б < В. Значит, только этот вариант и подходит под условия задачи, у Гаврилы при этом 12 конфет, вот и ответ.
65. Что там дальше?
Учитель выписывает на доске числа - 13, 21, 34 - и просит учеников продолжить последовательность, дописав еще хотя бы два последующих числа. Они долго спорили, в конечном итоге пришли к трем различным вариантам, но ни в одном они не уверены. А какой выберете вы?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 42, 56.
2. 50, 69.
3. 55, 89.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Вопрос на эрудицию, если ответ вам неизвестен, догадаться будет весьма непросто. Нужно обратить внимание, что 13 и 21 в сумме дают аккурат 34, а какая последовательность выражается формулой «Каждое последующее есть сумма двух предыдущих»? Совершенно верно, это последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Любопытно, что числа Фибоначчи их автором, Леонардо Пизанским (1170 -1250; Фибоначчи его прозвали только после смерти), были предложены для подсчета количества кроликов, известных своей плодовитостью, в каждом поколении.
66. Зри в корень
Найти хотя бы один корень уравнения (x + 1) (x + 3) ? (x + 5) (x + 7) = 945.
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 2.
2. 4.
3. -10.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1, 3
Приглядимся к уравнению: в левой части четыре множителя, каждый из которых отличается от соседнего на 2. Если разложить 945 на четыре таких множителя, то решение, можно считать, уже у нас в руках. Раскладываем: разумеется, 945 делится на 5; разделили, получили 189, сумма цифр дает 18, значит, оно делится еще и на 3; поделили, получили 63, а это 7 и 9, в итоге имеем 945 = 3 ? 5 ? 7 ? 9, и x = 2 очевидно является решением. Но также решением является и -10: ( -9) ? ( -7) ? ( -5) ? ( -3) снова равно 945 (минус на минус на минус на минус дает плюс). А есть ли еще решения? Заменим x на y = x + 4, тогда уравнение будет выглядеть так: (y - 3)(y - 1)(y + 1)(y + 3) = 945. Вспоминая, что (y - a)(y + a) = y? - a?, преобразуем уравнение к виду (y? -1)(y? -9) = 945. Заменим еще одно обозначение y? = z и получим квадратное уравнение на z: z? - 10z - 936 = 0 (мы просто раскрыли скобки и перенесли все из правой части уравнения в левую). У этого уравнения есть два корня: 36 и ?26. С первым все понятно: подставляя z = (x + 4)?, мы как раз получим уже известные нам первые два решения. А как быть со вторым? Ну, тут
история позаковыристее, нужно взять квадратный корень из отрицательного числа. Кто-то скажет, что таких не бывает, а мы скажем: бывает, это же просто i ? v26, где i = v?1 - мнимая единица. Таким образом, оставшиеся два корня уравнения - это 4 ± i ? v26.
67. Делиться надо
Нужно найти все натуральные числа от 1 до 1000, делящиеся одновременно на 7 и на 11. Сколько таких?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 7.
2. 10.
3. 12.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Поскольку 7 и 11 - простые числа, то понятно: для того чтобы число делилось и на 7, и на 11, нужно, чтобы оно делилось на 77. Итоговое произведение этих чисел (1 ? 77, 2 ? 77, … - и так вплоть до n ? 77) не должно превышать 1000. При n = 12 это 924, а при n = 13 уже 1001, не подходит. Так что правильный ответ - 12.
68. Который час?
Когда в Москве 12:00, в Чикаго 3:00. Когда же 3:00 в Москве, 12:00 в Петропавловске-Камчатском. А который час в Чикаго, когда в Петропавловске-Камчатском 3:00?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 12:00.
2. 21:00.
3. 9:00.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
В Москве по отношению к Чикаго +9 часов, в Петропавловске-Камчатском по отношению к Москве +9 часов, соответственно, в Чикаго по отношению к Петропавловску-Камчатскому - 18 часов, там всегда на 18 часов меньше, чем в нашем дальневосточном городе. Значит, когда в Петропавловске-Камчатском 3:00, в Чикаго ?15 - т. е. 24?15 = 9, 9:00 предыдущего дня.
69. Средний возраст
В отделе продаж фирмы работают молодые люди: девять красавцев средним возрастом 25 лет. А в бухгалтерии - без пяти минут пенсионеры, 11 счетоводов, им в среднем по 45. А что можно сказать про средний возраст персонала фирмы? (Предположим для простоты, что более никаких отделов в компании нет.)
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 35 лет.
2. 36 лет.
3. 38 лет.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Элементарная задачка, если вспомнить определение среднего. Средний возраст равен сумме всех возрастов (суммарный возраст), деленной на число людей. Значит, нам нужно посчитать сначала суммарный возраст всех сотрудников, который равен {суммарный возраст по отделу продаж} + {суммарный возраст по бухгалтерии} = 25 ? 9 + 45 ? 11 = 720 лет. Теперь, чтобы получить средний возраст, делим найденный суммарный на общее число сотрудников (9 + 11 = 20), получаем 36 лет.
70. Сколько чисел?
Среди всех трехзначных чисел есть такие, сумма цифр которых ровно в 12 раз меньше самого числа. Сколько таких?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Только одно.
2. Два.
3. Шесть.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Любое трехзначное число можно записать как 100a + 10b + c, где a, b и c принимают целочисленные значения (уже пятая диофантова задача! См. № 47, 55, 62 и 64), b и c в диапазоне от 0 до 9, a - от 1 до 9. По условию само число равно сумме цифр, умноженной на 12: 100a + 10b + c = 12 (a + b + c). Упрощая, запишем: 88a = 2b + 11c, a = (2b + 11c) ? 88a = 1 при 2b + 11c = 88, при этом значение a = 2, не говоря уж о бoльших, невозможно - тогда 2b + 11c должно сравняться со 176, для b и c меньших 9 это просто немыслимо. В общем, a всегда единица, c = 8 при b = 0, а больше никаких возможностей не существует: можно взять еще c = 6, но тогда b = 11, снова вышли за пределы допустимого диапазона. Выходит, единственное число, удовлетворяющее условию, - это 108 = 12 ? 9.
71. Специалист
Профессионал выполняет работу за 5 ч, стажер за 10 ч. А за какое время справится специалист, производительность которого - среднее арифметическое от производительности профессионала и стажера?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. За 6 ч 40 м.
2. За 7 ч 30 м.
3. За 8 ч 20 м.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Ответ «семь с половиной часов» - типичная ошибка, связанная с тем, что прежде, чем усреднять, нужно определиться, что именно мы усредняем. В задаче речь о производительности, давайте ее посчитаем. Производительность - это работа в единицу времени. Если принять ту работу, о которой говорится в условии, за единицу, то производительность профи 1/5, стажера 1/10, специалиста - (1/5 + 1/10)/2 = 3/20, а работу единичного объема он выполнит за 20/3 ч = 6 ч 40 м.
72. Как отмерить?
В вашем распоряжении две банки - трех - и пятилитровая. Нужно отмерить ровно 1 л воды. Возможно ли это, и если да, то за сколько шагов (шаг = одно наливание из крана или одно переливание из одной банки в другую)?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Невозможно.
2. За четыре шага.
3. За восемь шагов.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Чтобы понять, как действовать, сначала нужно прикинуть, как из 3 и 5 получить 1, чисто арифметически. Самый простой вариант: 1 = 3 + 3 -5, т. е. нам нужно как-то дважды налить по 3 л, а после куда-то деть 5 л. Возможно? Возможно: наполняем трехлитровую банку (1-й шаг) и переливаем все ее содержимое в пятилитровую (2-й шаг), затем снова наполняем трехлитровую (3-й шаг) и снова переливаем в пятилитровую (4-й шаг) - в нее войдет только 2 л, после чего в трехлитровой банке останется ровно 1 л воды.
73. Все нечетные
Давайте посчитаем по-быстрому, сколько будет 1 + 3 + 5 + 7 +… + 99? (Сумма всех нечетных чисел от единицы до 99.) Это:
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 1234.
2. 2500.
3. 3600.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Вообще говоря, перед нами сумма членов арифметической прогрессии, для подсчета которой существует известная формула, и при желании мы можем ею воспользоваться. Но это путь долгий и неизящный - а мы хотим посчитать быстро, красиво и в уме. Тогда вспомним, что еще с античных времен известно: любая сумма нечетных чисел от единицы до n суть полный квадрат. Судите сами: 1 + 3 = 4 = 2?; 1 + 3 + 5 = 9 = 3?; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4?. То, что так будет для всех нечетных чисел, ясно уже из геометрических соображений: возьмем побольше единичных (со стороной длиной 1, неважно чего - метров, футов или лье) квадратов и начнем последовательно собирать из них квадраты большего размера - со стороной 2, 3 и т. д. (см. рисунок). Квадрат со стороной 2 получается прибавлением к первоначальному квадрату еще трех, со стороной 3 - прибавлением к предыдущему еще пяти, ну и т. д. Площадь большого квадрата (со стороной длины n) можно записать как n?, а можно - как сумму площадей всех составляющих его фигур (площадь первого единичного квадрата + площади всех «надстроек» над ним, превращающих его в квадрат во стороной n): 1 +
3 + 5 +… + (2n - 1). В итоге имеем равенство 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n?. В нашем случае n = 50 (так как 2n - 1 = 99), значит, сумма равна 50 ? 50 = 2500.
74. Орлянка
Вы подбрасываете наудачу две монеты. Какова вероятность одновременного выпадения орла или решки?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 12,5 %.
2. 25 %.
3. 50 %.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Давайте разберем все возможные исходы подбрасывания двух монет. Каждая может выпасть либо орлом (О), либо решкой (Р), соответственно, для двух монет возможны следующие результаты: ОО, ОР, РО, РР. Эти четыре события считаем равновероятными (не спрашивайте почему - это аксиома, разумное предположение, на котором построена вся теория вероятностей), т. е. вероятность одного события равна 25 % (суммарная вероятность всех событий 4 ? 25 % = 100 %, а это значит, что какое-то из четырех событий обязательно да наступит). Выпадение орла на обеих монетах, равно как и решки, наступает с вероятностью 25 % каждое. Значит, какое-то одно из этих событий наступит с вероятностью 25 + 25 = 50 %. Возможно, поэтому возникает иллюзия, что угадать орлов или решек на двух монетах так же легко, как и на одной, но это только иллюзия: вы же будете угадывать не «орел или решка на обеих монетах», а что-то одно - либо дважды орел, либо дважды решка, и вероятность каждого из этих двух событий только 25 %.
75. Почем арбузы?
Арбуз стоит 3 руб. и пол-арбуза, сколько стоит арбуз?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 4,5 руб.
2. 6 руб.
3. 9 руб.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Это любимая задача великого русского математика В. И. Арнольда[6 - Владимир Игоревич Арнольд (1937 -2010) - один из крупнейших математиков XX века, ученик Андрея Николаевича Колмогорова. Был ярким популяризатором науки, в частности, написал книгу «Задачи для детей от 5 до 15 лет» (см. «Основная литература по теме»), именно в ней он признается в том, что вопрос про арбузы - один из его любимых.]. Поразительно, что большинство людей с ходу решают ее неверно, отвечая «четыре с половиной рубля», а после совершенно не в силах объяснить свое решение. Которое, конечно же, элементарно. АРБУЗ = 3 + 1/2 АРБУЗ (АРБУЗ - цена арбуза). Упрощая, получаем 1/2 АРБУЗ = 3, отсюда сразу же АРБУЗ = 6, шесть рублей и ни копейкой меньше.
76. Карточная башня
[7 - С этой задачи начинается замечательная книга «Простая одержимость» Джона Дербишира (см. «Основная литература по теме») про одну из главных (и до сих пор не разгаданных) математических загадок - гипотезу Римана.]
Представьте, что вы попали на карточную фабрику - такую, где производят игральные карты. В пересменок никого нет, и можно немного пошалить. Вы начинаете выкладывать друг на друга карты (которых в вашем распоряжении бесчисленное множество), причем таким образом, что каждая следующая карта максимально нависает над предыдущей, еще чуть-чуть, и сорвется. Какой может быть максимальная длина (не высота! Речь именно о горизонтальных размерах) такой башни?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Длина двух карт.
2. Длина ? (? = 3,1428…) карт.
3. Ничем не ограничена!
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Вся штука вот в чем: чтобы башня не падала, необходимо, чтобы ее центр масс всегда был в устойчивом положении. Когда кладем вторую карту (на первую), она устойчива, если высовывается наружу не далее чем на половину длины. Далее показывается, что третья карта должна высовываться не больше чем на треть, четвертая - на четверть и т. д. Складывая все эти длины, получим горизонтальный размер башни: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… - а это есть не что иное, как знаменитый гармонический ряд, и сумма этого ряда есть бесконечность! Правда, бесконечность довольно вялая - сумма гармонического ряда растет логарифмически, а ничего медленнее логарифма в природе не существует. Это такая функция-черепаха: возьмите логарифм по основанию 2 от числа 16, log^2^16 = 4, а от умопомрачительного 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 («миллион триллион триллионов») такой логарифм равен… всего лишь 100! Но тем не менее логарифм неограниченно растет.
77. Сколько вешать в граммах?
Почему цены на все жидкости (воду, сок, бензин и т. д.) указывают в пересчете на объем (рублей за литр) и только на мед в пересчете на вес («за килограмм»)?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Потому что мед тяжелее.
2. Такова традиция.
3. Да не такая уж мед и жидкость, глянешь на засахаренный - он скорее твердый.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Любопытно, что большинство жидкостей, известных нам в быту, имеют примерно одинаковую плотность, близкую к плотности воды (1 кг/л). В том, что такую плотность имеют сок, молоко и газировка, нет ничего удивительного - все же они по большей части из воды и состоят. Но также и спирт, и бензин, и керосин, и всяческие денатураты - все близки по плотности к той же воде. Поэтому-то у многих людей в голове держится нелепое равенство «килограмм равен литру», притом что это вообще разные единицы измерения. Но вернемся к нашему меду - он-то как раз выделяется из этого ряда тем, что существенно, почти в 1,5 раза, тяжелее. И если выставить на него ценник «за литр», то цена меда будет в 1,5 раза выше, чем «за килограмм», раз в одном литре его полтора килограмма. Ну вот и представьте, стоят два торговца, у одного объявление «600 руб./л», у второго «400 руб./кг», вы к какому пойдете? Бьюсь об заклад, что ко второму. Даже понимая, что это на деле одна и та же цена.
78. Тут у вас ошибочка!
На занятии по алгебре профессор выписывает различные выражения, среди которых странное равенство «100 + 100 = 1000».
- Профессор, тут у вас ошибочка, так не бывает! - кричат ему из зала.
Профессор возвращается к равенству, перепроверяет - нет, говорит, здесь все верно.
Как такое может быть? Профессор бредит или у равенства и правда есть какой-то смысл?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Переутомился профессор, увы.
2. Очевидно, это тождество «8 = 8».
3. Подобное равенство возможно в случае комплексных чисел, профессор просто пропустил мнимую единицу.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Все мы настолько привыкли к десятичной системе счета (когда любое число, например 234, означает 2 ? 100 + 3 ? 10 + 4 ? 1), что обычно даже не задумываемся о том, что существуют какие-то еще. А они существуют, причем их сколько угодно: в качестве основания для счета можно же брать любое целое число! Правда, если это число больше десяти, то вам уже не хватит привычных десяти цифр, придется добавлять новые. Так, у компьютерщиков в ходу шестнадцатеричная (hexadecimal) система, в которой «цифры» с 10 по 15 заменены буквами ABCDEF, к примеру число FF = 15 ? 16 + 15 = 255. Те же компьютерщики широко используют и двоичную систему, и нетрудно проверить, что в двоичной системе наше равенство действительно выполняется: 100 на наши деньги (т. е. в десятичной системе) - это 4, 4 + 4 = 8, переводим 8 (это 2 в кубе) обратно в двоичную систему - получаем 1000. Ну и осталось сказать, что ни в какой другой системе, кроме двоичной, это равенство выполняться не будет. Возьмем, например, систему счета по основанию 3, там 100 - это 9 в десятичной системе, 9 + 9 = 18, и, переводя обратно, получаем… 200! Несложно
показать, что вообще во всех системах 100 + 100 = 200. Во всех, кроме двоичной, - потому хотя бы, что в ней вовсе не используется цифра 2, все числа записываются нулями и единицами.
79. За какое время?
Пять асфальтобетоноукладчиков укладывают 5 га асфальтобетона за 5 ч. За какое время 25 асфальтобетоноукладчиков уложат 25 га асфальтобетона?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. За 1 ч.
2. За 5 ч.
3. За 25 ч.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
75 % людей дают к этой задаче неправильный ответ - 25 ч. Видимо, они руководствуются таким житейским рассуждением: раз в первом случае всего по пять (асфальтобетоноукладчиков, гектаров и часов), то во втором должно быть по 25. Житейские рассуждения полезно поверять математикой: мысленно разделим наши 25 га на пять крупных участков (по 5 га каждый), отрядим на каждый по пять асфальтобетоноукладчиков и тем самым на каждом участке сведем второй случай к первому. Там, как мы знаем, асфальтобетон укладывают за 5 ч, а поскольку на всех участках работать можно одновременно (раз в условии не оговорено иное), то это и будет ответ нашей задачи.
80. Сколькими способами?
Сколькими способами можно разбить число 64 на сумму 10 различных слагаемых, которые все являются натуральными числами и при этом максимальное из них равно 12? (Порядок следования слагаемых в сумме не имеет значения.)
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Такого способа не существует.
2. Единственным способом.
3. Четырьмя способами.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Поскольку порядок слагаемых в сумме по условию не играет роли, мы можем расположить их в порядке возрастания: 64 = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j и при этом a < b < c < d < e < f < g < h < i < j = 12. Поскольку j всегда равно 12, мы можем переписать равенство в виде 52 = a + b + c + d + e + f + g + h + i. Вообще, заметим, что для натуральных a, b, c… меньших 12 сумма a + b + c + d + e + f + g + h + i принимает значения от 45 (для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) до 63 (для ряда 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), так что есть основания надеяться, что для каких-то значений будет получаться и сумма 52. Действительно, это будет происходить для следующих наборов: {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}, {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11} и {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11} - и только в этих четырех случаях.
81. Максимальный выигрыш
Вы купили три лотерейных билета. Последовательно открываете билеты и смотрите размер выигрыша, по правилам лотереи вам вручат только тот приз, который указан на последнем открытом билете. Как обеспечить себе максимальный возможный выигрыш?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Открыть первый билет, если размер выигрыша вас устраивает, больше билетов не открывать.
2. Открыть первый билет, затем второй, если выигрыш на втором больше, чем на первом, останавливайтесь на этом билете, в противном случае переходите к третьему.
3. Никак, любой билет дает максимальный выигрыш с одинаковой вероятностью 1/3.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Для определенности: пусть один билет выигрывает $1, второй $2, третий $3. Мы их так и обозначим: 1, 2, 3. Последовательность вытягивания билетов может быть такой (все возможные варианты, совершенно равновероятные): 123 (А), 132 (Б), 213 (В), 231 (Г), 312 (Д), 321 (Е). Если мы будем действовать по выбранному плану, то в половине случаев (Б, В, Г) мы обеспечим себе максимальный выигрыш ($3), в двух случаях (А и Д) средний выигрыш ($2) и только в одном (Е) - минимальный ($1). 50 % на получение максимального приза - это гораздо лучше, чем средние 33 % (1/3), которые были у нас изначально. Любопытно, что в случае N билетов, где при случайном выборе билета вероятность получения максимального приза равна 1/N (если N = 100, то это всего-то 1 %), схожим образом можно обеспечить себе большую вероятность выбора билета с максимальным выигрышем: пропускаем N/e билетов (e ? 2,718281828… - основание натурального логарифма, см. также задачу № 85), а после выбираем билет с первой максимальной (большей всех предыдущих) суммой приза. В этом случае вероятность угадать составляет 1/e ? 0,37, это больше, чем один к
двум, очень хорошие шансы! Подробнее - в книге Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».
82. Пельменный чемпион
В Омске проводят конкурс по поеданию пельменей - кто осилит больше. К финалу допускаются только те, кто способен съесть не менее сотни. В финал вышли четверо: Александр, Борис, Владимир и Геннадий. Известно, что победил Александр, Борис с Владимиром на пару съели 599 пельменей, а всего в финале их уничтожили ровно 1000 штук.
Сколько же съел победитель?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 300 пельменей.
2. 301 пельмень.
3. 302 пельменя.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Для краткости обозначим съеденное каждым «спортсменом» по первым буквам их имен: А, Б, В и Г. Мы знаем, что А + Б + В + Г = 1000, Б + В = 599 (и, значит, А + Г = 401) и что А, Б, В, Г ? 100. Отсюда следует, что А ? 301, но тогда Александр может быть победителем только при условии, что Борис съел 300, а Владимир 299 (или наоборот, что нам совершенно неважно - мы не интересуемся занявшими второе и третье места; важно, что если кто-то из них слопал 301 или больше, то Александр уже никак не может победить), Геннадий съел ровно 100, а Александр 301 пельмень. Это и есть ответ.
83. Землекопы
Три землекопа могут вскопать 1 га за 2 ч. За какое время им удастся вскопать 3 га, если прикомандировать к ним еще двух столь же работоспособных землекопов?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. За те же 2 ч.
2. За 2 ч 40 м.
3. За 3 ч 36 м.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Если действовать по всем правилам, то сначала нужно посчитать производительность одного землекопа - это 1/3 га за 2 ч, т. е. 1/6 га/ч. Теперь, чтобы найти время обработки 3 га пятью землекопами, нужно взять 3 га, разделить на производительность одного землекопа и на число землекопов, получим 18/5 = 3,6 ч, или 3 ч 36 м. Но можно и грубо прикинуть, без детальных расчетов: объем работ вырос втрое, а производительность бригады в 5/3 ? 1,7 раза. Вспоминая, что 1,7 - это примерное значение v3, сразу получаем, что время работы должно увеличиться где-то в те же 1,7 раза. Из предложенных вариантов ответа только третий близок к этому значению, его и берем.
84. Считаем в уме I
Чему равняется произведение 748 ? 1503?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 1 096 124.
2. 1 124 244.
3. 1 244 124.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Казалось бы, что может быть интересного в перемножении двух чисел? Берешь калькулятор и считаешь. Но с калькулятором и правда ничего интересного - иное дело попробовать посчитать в уме. Со всеми такими задачами главное - считать не в лоб, а попытаться увидеть, как можно облегчить себе работу. В конкретном нашем примере запишем 748 как (1500 - 4)/2, а 1503 как (1500 + 4) - 1, тогда получим: 748 ? 1503 = (1500 - 4) (1500 + 4)/2 - 748. Вспоминая, что (a - b) ? (a + b) = a? - b?, получаем: 748 ? 1503 = 1500?/2 - 4?/2 - 748 = 2 250 000/2 - 756 = 1 125 000 -756 = 1 124 244. Возможность посчитать в уме (хотя бы приближенно, не всегда нужна совершенная точность) - очень важный навык. Знаменитый физик Ричард Фейнман посвятил этому целую главу в своей книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!»[8 - Фейнман Р. «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» - М.: АСТ.], там он вычисляет в уме не только произведения, но и логарифмы, и кубические корни.
85. Считаем в уме II
С точностью до третьей значащей цифры посчитайте в уме корень 100-й степени из числа e (e = 2,718281828… - основание натурального логарифма). Это будет:
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 1,01.
2. 1,04.
3. 1,11.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Чтобы решить эту задачку, нужно помнить две вещи. Первое: извлечь корень n-й степени - то же самое, что возвести в степень 1/n, vn(a) = a^1/n^, в нашем случае нужно отыскать значение e в степени 1/100 = 0,01. Второе: при малых значениях аргумента функция e^x^ (экспоненциальная функция, фундаментальная в математике - встречается без малого везде) может быть приближенно записана совсем просто: e^x^ ? 1 + x. Значит, искомое значение составит 1 + 0,01 = 1,01. Сравним с более точным (до 10-го знака) значением - это 1,010050167, великолепное совпадение! Приближенные методы, вообще, бывают довольно точны (главное контролировать эту точность). Скажем, корень десятой степени из e равен 1,105170918, а вычисленный по нашей приближенной формуле - 1,1, разница в полпроцента. Правда, если мы посчитаем e^1^ (равно e, если считать точно, и 2 по нашей формуле), то разница будет уже ощутимой, что объяснимо: для таких больших значений x наше приближение уже плохо работает, увы. Но его можно продолжать уточнять, почитайте, если интересно, про разложение экспоненты в ряд Тейлора, вы узнаете, что при любом (sic!)
значении x, даже при миллионе или миллиарде, можно приближенно записать эту функцию полиномом (степенной функцией) с желаемой точностью!
86. Считаем в уме III
В уме возвести 2 в 18-ю степень. Это:
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 256 256.
2. 258 724.
3. 262 144.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Любой программист (а нынче и простой пользователь электронных гаджетов, который, например, изучал надписи на карте памяти и узнал, что 1 Гб - это вовсе не 1000 Мб, а 1024) знает, сколько будет 2^10^ - чуть больше тысячи, точнее, те самые 1024. А 2^20^ - соответственно 1024 ? 1024. Но как это поможет вычислить 2^18^? Очень просто: 2^18^ = 2^20^ ? 2^2^ = 1024 ? 1024 ? 2 ? 2 = 512 ? 512. А это уже совсем просто посчитать, вспомнив, что (a + b) ? (a + b) = a? + 2ab + b? (сравните с задачей № 41). Применительно к нашему примеру (500 + 12) ? (500 + 12) = 500? + 2 ? 12 ? 500 + 12? = 250 000 + 12 000 + 144 = 262 144.
87. Считаем в уме IV
Что больше - десять в пятой степени или пять в десятой?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 10^5^ > 5^10^.
2. 5^10^ > 10^5^.
3. Возможно, они равны?
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Сколько будет 10^5^, мы, конечно же, знаем - это единица с пятью нулями, 100 000. А 5^10^? На самом деле, вооружившись знаниями из предыдущего примера (№ 43), мы тоже легко можем посчитать, хотя бы приблизительно. Заметив, что 5 = 10/2, возведем последнюю дробь в десятую степень, помня правило возведения дроби в степень (числитель и знаменатель можно возводить в нее порознь), получим 10^10^/2^10^, а поскольку 2^10^, как мы теперь уже знаем, это примерно 1000, т. е. 10?, получаем 5^10^ ? 10^10^/10^3^ = 10^7^ = 10 000 000. Значит, пять в десятой степени почти в 100 раз больше, чем десять в пятой! Интересно решить более общую задачу: если m > n, всегда ли, как в этом случае, n^m^ больше, чем m^n^? Оказывается, если и m, и n больше двойки (3, 4, 5 и т. д.), то да, всегда. А вот когда n = 2, есть два интересных случая: когда m = 3, 2? (8) меньше, чем 3? (9), а когда m = 4, то 2^4^ и 4^2^ и вовсе равны (это 16). Если же m равно 5, 6 и т. д., мы снова возвращаемся к общему правилу 2^m^ > m?.
88. Братья и сестры
У Саши сестер на двое больше, чем братьев. На сколько у Сашиных родителей больше дочерей, чем сыновей?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. На одну.
2. На три.
3. Невозможно определить.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Предположим для простоты, что у Саши две сестры и вовсе нет братьев. Тогда дочерей у Сашиных родителей на три больше, чем сыновей, если Саша девочка, и на одну, если он мальчик. Поскольку Саша - имя универсальное, может быть как мужским, так и женским, пол Саши определить не представляется возможным, как и ответить на поставленный в задаче вопрос.
Физика
89. Льдина в бассейне
В бассейне плавает глыба льда. Через некоторое время она тает. Что случилось с уровнем воды в бассейне?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Повысился.
2. Понизился.
3. Остался неизменным.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Уровень воды, разумеется, не изменится, и это очень легко объяснить наглядно. Поместим льдину в бесконечно легкую кастрюлю и пустим плавать в нашем бассейне. Льдина растаяла, но, так как масса содержимого кастрюли не изменилась, не изменился и уровень воды в бассейне. При этом, очевидно, уровень воды внутри (после таяния льда) и снаружи кастрюли (раз она не имеет массы) обязаны совпадать. Мысленно удаляем нашу воображаемую кастрюлю - вуаля, наше предположение доказано. Привет сторонникам теории глобального потепления.
90. Без весла
Посреди озера в штиль рыбак умудрился сломать весло. Рыбак подумал, что сможет плыть и без весла, если будет действовать следующим образом: бегом бежать от кормы к носу лодки и медленным шагом возвращаться обратно. Прав ли рыбак и в какую сторону он в таком случае поплывет?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Разрази его гром, прав! Поплывет носом вперед.
2. Прав, морской черт! Только поплывет он задом - кормой вперед.
3. Дурак ваш рыбак, и метод его дурацкий.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Если представить, что трения об воду нет, то рыбацкий труд, конечно, не имел бы смысла: по закону сохранения импульса лодка смещалась бы против направления движения рыбака, а за полный цикл (корма - нос - корма) смещение равнялось бы нулю. Но трение в воде есть, более того, оно квадратично зависит от скорости: чем больше скорость (лодки), тем сильнее сопротивление воды. Соответственно, когда рыбак бежит от кормы к носу, лодка смещается назад на меньшее расстояние, чем вперед - когда он неспешно прогуливается в обратном направлении.
91. Камни на пашне
Каждый год по весне на пахотных землях появляются камни, про такие говорят, что они «из земли растут». Откуда они берутся?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Их выталкивает сила Архимеда.
2. Камни выходят на поверхность из-за промерзания грунта при минусовых температурах.
3. Их разбрасывают по полям диверсанты-вредители.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Земля промерзает неравномерно: у камней теплопроводность (хотя в данном случае уместнее сказать «хладопроводность») выше, чем у почвы. Как следствие, лед возникает прежде всего под камнем и за счет расширения (при переходе из жидкой фазы в твердую вода расширяется) выталкивает камень вверх. Вот и весь секрет роста.
92. Синий камень
В Переславле-Залесском с незапамятных времен был Синий камень, которому поклонялись меряне и другие язычники. Монахи находящегося неподалеку Борисоглебского монастыря мечтали избавиться от соседства с камнем и зимой 1788 г. повезли его на санях по Плещееву озеру, но лед под тяжестью треснул, и камень ушел под воду на глубину около 1,5 м. А через 70 лет взял и вышел обратно на берег. Как ему это удалось?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Его вынесли льды.
2. Его вынесли произраставшие под ним водоросли.
3. Сам выбрался, камень-то волшебный!
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Вода в водоеме, как известно, промерзает сверху. Таким образом, поверхностный лед имеет возможность захватить камень. По весне лед трескается, и льдина с вросшим в нее камнем может дрейфовать - в том направлении, куда в среднем дует ветер. В Переславле преимущественное направление ветра - от озера к монастырю, туда-то и вынесло Синий камень.
93. Масло для Нептуна
[9 - Эту задачу предложил Вениамин Григорьевич Левич (1917 -1987) - советский физик, ученик Л. Д. Ландау.]
В старину в бурю моряки выливали в воду масло или жидкий жир (например, китовый). Для чего они это делали?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Масло на поверхности воды мешает возбуждаться волнам.
2. Глупое суеверие, моряки просто приносили жертву Нептуну.
3. Питательная пища привлекает в большом числе рыб, которые беспорядочными телодвижениями разбивают волны.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Волны в воде хорошо поднимаются, если там уже есть волны: ветер раздувает рябь, и волны растут и растут. А если ряби не будет, то расти им будет особо и не из чего. Масляная пленка как раз и подавляет появление ряби, в этом и эффект: волны на жировой пленке получаются ниже и слабее.
94. Ходить по воде
[10 - А эта задача была предложена Петром Леонидовичем Капицей (1894 -1984).]
Можно ли ходить по воде и что для этого нужно сделать?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Да ну, это все библейские сказки.
2. Да, если перебирать ногами быстро и энергично.
3. В специальной обуви из материала малой плотности (скажем, пенопласта).
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Человек будет держаться на поверхности, если сила отталкивания сравняется с его весом. Эта сила равна F = k?v?S (примем без вывода; здесь ? = 1000 кг/м? - плотность воды, v - скорость удара стопы, S = 2 дм? - площадь стопы, k ? 0,2 - безразмерный коэффициент сопротивления). Приравнивая ее к весу человека массой m = 60 кг, получаем v? ? mg/(k?S) = 150 м?/с?, v ? 44 км/ч. Это к вопросу об «энергично», а откуда же берется условие «быстро»? Все просто: за время t наш спринтер уходит под воду на расстояние ?vt, и пусть это будет не больше чем «по колено» (примерно полметра). Отсюда получаем, что перебирать ногами он должен со скоростью не менее 25 шагов в секунду.
95. Солнце - человек - радуга
Когда человек видит радугу, где по отношению к нему находится солнце?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. У него над головой.
2. У него за спиной.
3. В центре окружности, образующей радугу.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Радуга возникает вследствие двойного внутреннего отражения солнечного света в капле: луч заходит внутрь капли, отражается от внутренней стенки раз, потом другой и выходит наружу в направлении «назад», под углом примерно 40° к первоначальному. Соответственно, радугу можно видеть, только стоя между дождем (туманом, фонтаном и т. п.) и источником света, - значит, солнце всегда будет за спиной.
96. Черные дыры в миниатюре
[11 - Задача предложена Аркадием Бейнусовичем Мигдалом (1911 -1991), академиком АН СССР, участником советского атомного проекта.]
Каков минимальный размер черной дыры?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Это размер атома, у которого радиус ядра задевает орбиты внутренних электронных оболочек.
2. Это ядро дейтерия[12 - Дейтерий - тяжелый водород, в составе ядра у которого один протон и один нейтрон (у обычного водорода - только протон, а у сверхтяжелого трития протон и два нейтрона).] и, соответственно, его размер.
3. Какой может быть самая маленькая клякса? Вот так и с черной дырой: может быть сколь угодно мала.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Вопрос, что считать черной дырой. Можно определить и так: это вещество с плотностью черной дыры (очень большой!). Самая большая плотность вещества, известная нам, - нуклонная плотность, та, что в ядре атома (и, по-видимому, у черных дыр такая же). Значит, если сжать атом до размеров ядра, он и будет черной дырой! Чем больше заряд ядра, тем, с одной стороны, крупнее само ядро и тем, с другой стороны, ближе к ядру располагаются электроны - по оценкам, при заряде ядра Z ? 100 нижние электронные оболочки как раз начнут втягиваться в ядро. (Z = 100 - не так уж и много, к примеру, у урана заряд ядра Z = 92.)
97. Быстрее света
Может ли материальная частица двигаться со скоростью большей скорости света?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Как учил Эйнштейн: нет, ни за что и никогда.
2. Может, если она движется в сплошной среде, в которой скорость света меньше c (скорости света в вакууме).
3. Такое возможно, если пользоваться неинерциальной системой отсчета.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Предельной скоростью распространения чего бы то ни было (тел, частиц, сигналов) является, вне всяких сомнений, скорость света в вакууме c = 3 ? 10^8^ м/с. Но в среде свет может распространяться с меньшей (и существенно меньшей - иногда вполовину) скоростью. Вот тут-то частица и может пойти на обгон! А если она еще и заряженная, это приведет к красивому излучению Черенкова - Вавилова, с помощью которого, в частности, детектируют и измеряют релятивистские (т. е. мчащиеся с околосветовой скоростью) частицы.
98. Ледяные пули
Можно ли стрелять пулями из льда?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Если не очередью, то можно.
2. Если стрелять очень быстро - чтобы пули не успевали таять.
3. Нет.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Вообще говоря, ответ зависит от того, чего вы хотите. Будем исходить из предположения, что задача самая распространенная - поразить цель. Тогда стрелять очередями не получится: лед будет таять в разогретом стволе, и до цели в лучшем случае долетят капли. По той же причине не получится стрелять льдом на большие расстояния - он растает в атмосфере. Отметим, что идея с ледяными пулями - находка для детективного автора, это ж идеальное орудие убийства - улики исчезают за несколько минут! Старушка Агата была бы довольна.
99. Отраженная капля
[13 - Задачу предложил Яков Борисович Зельдович (1914 -1987) - академик АН СССР, участник советского атомного проекта.]
Когда крупная капля падает в воду, отражается (выбрасывается из воды вверх) капля, поднимающаяся на высоту, существенно превышающую первоначальную - ту, с которой падала первая капля. Почему не выполняется закон сохранения энергии?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Новая капля гораздо меньше, чем первая.
2. Новая капля берет дополнительную энергию из резервуара с водой.
3. На поверхности воды есть волны, капля может получить дополнительную энергию от одной из них.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Разумеется, закон сохранения энергии выполняется. Новая капля просто существенно меньшего размера (а значит, и массы), а поскольку энергия первой капли m^1^gh^1^ (h^1^ - высота, с которой она падала), второй - m^2^gh^2^ (h^2^ - высота, на которую она поднялась), то, очевидно, при m^2^ < m^1^h^2^ может быть больше h^1^, без нарушения закона сохранения, m^2^gh^2^ ? m^1^gh^1^.
100. Охота за золотом
В богатом месторождении золота в 1 м? руды благородного металла содержится всего 10 г. И его еще нужно извлечь - он рассеян в руде в виде частиц массой всего 0,01 нг (нано = 10^?9^, так что вес одной золотой частицы - 10^?11^ г). До каких размеров нужно раздробить руду, чтобы это золото можно было как-то извлечь (например, растворением)?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. До частиц размером 1 мм.
2. До частиц размером 1 мкм (10^?6^ м).
3. До частиц размером 1 нм (10^?9^ м).
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Очевидно, нужно дробить до размеров золотых частиц (точно так же, как, к примеру, гранат - не драгоценный камень, а фрукт - мы дробим до размеров гранатового зернышка). Нам известны не размеры, но масса частиц, а масса и размеры связаны друг с другом через плотность, m = ?l? (m - масса, ? = 20 т/м? - плотность, l - размер), откуда l есть корень третьей степени из m/?, l ? 1 мкм.
101. Горная трапеза
Почему в горах можно пожарить шашлык, но практически нереально сварить суп?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. На высоте настолько холодно, что нагреть воду выше 30 °C не представляется возможным.
2. Притом что костер так же горяч, как и в долине, воду до 100 °C не нагреть никак.
3. Ерунда, суп сварить не проблема, главное - прихватить с собой кастрюлю.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Температура кипения тем ниже, чем ниже атмосферное давление. Чем выше в горы, тем давление ниже - а значит, ниже и температура кипения воды. Точка кипения смещается на один градус с увеличением высоты на 300 м, так что в высокогорье воду больше чем до 70 °C не нагреть. В таком «кипятке» все варится очень-очень долго, и даже чай им заварить проблематично.
102. Наперегонки
Градина и дождевая капля одинаковых размеров и почти одинаковой массы (мы пренебрежем их различием) начинают двигаться одновременно с одинаковой высоты. Кто из них приземлится первой?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Градина.
2. Дурацкий вопрос - прилетят одновременно.
3. Капля.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Ответ на первый взгляд неожиданный, а на второй - очевидный. Дело в том, что градина не может менять форму, а капля - может и, испытывая воздействие воздуха, обязательно будет менять форму. Причем изменения будут сильнее в тех точках, где сильнее сопротивление (воздействующие силы больше, чем в иных точках), - значит, капля рано или поздно примет такую форму, что в целом сопротивление воздуха будет меньше, чем в случае с градиной.
103. Толстый - тонкий
Два парашютиста - один высокий и худой, другой плотный и приземистый - выпрыгивают из самолета «солдатиком». Кто будет двигаться быстрее до раскрытия парашюта?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Будут двигаться с одинаковой скоростью.
2. Коротыш быстрее.
3. Длинный быстрее.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Сопротивление движению в воздухе прямо пропорционально сечению движущегося тела. У короткого это сечение больше, значит, и падать он будет медленнее - но в дальнейшем, конечно, их уравняют раскрывшиеся парашюты.
104. Движение реликтовой воды
В залежах каменной соли содержатся включения реликтовой (древней) воды. Если внутри соляного месторождения разместить тепловой источник, будут ли эти включения двигаться (подсказка: растворимость соли растет с температурой)?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Будут, по направлению к тепловому источнику.
2. Будут, по направлению от теплового источника.
3. Останутся неподвижными.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Есть источник тепла - значит, есть и градиент (проще сказать, неоднородность) температуры. Там, где горячее, подсказывают нам, - там и растворимость выше. Соответственно, вода станет «проедать» горячую стенку и с необходимостью (иначе полость разрастется неограниченно, а так не бывает) «отступать» от холодной (на ней соль будет кристаллизоваться). Температура, очевидно, растет в направлении источника тепла - вот к нему, родимому, вода и поползет.
105. Сколько крыльев нужно самолету?
В наше время самолеты в основном монопланы, по одному крылу с каждой стороны. Но на заре авиационной эры были бипланы (по два крыла с каждой стороны), трипланы (по три), квартопланы (по четыре) и даже квинтопланы (по пять). Для чего делали столько крыльев?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Чтобы повысить устойчивость машины в полете.
2. Из соображений безопасности (одно крыло отвалится, остальные останутся).
3. Чтобы уменьшить размах крыльев.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Подъемная сила крыла прямо зависит от его площади: больше площадь - больше сила. Так что вместо того, чтобы строить моноплан, можно соорудить квинтоплан - и при той же самой подъемной силе крыло будет иметь впятеро меньшую площадь (поскольку крыльев - пять)! Такие крылья проще собирать, крепить, возможно, они и понадежнее будут, да и парковать компактный самолет удобнее. Так что зачем делали бипланы и трипланы, более-менее ясно, остается вопрос: почему сейчас остались одни монопланы? Дело в том, что в современной авиации скорость полета радикально (по меньшей мере на порядок) возросла, а подъемная сила растет не только с площадью крыла, но и со скоростью движения - так что для нынешних самолетов уже не нужно так много крыльев, хватает и двух.
106. О цвете неба
Почему небо голубое, а солнце на заре красное?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Солнце излучает свет, поэтому оно красное; небо поглощает свет, поэтому оно синее.
2. Потому что молекулы атмосферы сильнее рассеивают свет большей частоты (синий).
3. Просто такой цвет: у солнца красный, у неба голубой, у травы зеленый, у асфальта серый и т. п.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Все дело, конечно, в воздухе. Если бы атмосферы не существовало, было бы как на Луне: небо - черное, а солнце - белое (каким оно, в сущности, и является). Но она есть, и это все меняет: воздух рассеивает свет, причем разный свет по-разному (закон Рэлея[14 - Джон Уильям Стретт, третий барон Рэлей, лорд Рэлей (1842 -1919) - британский физик и механик.]): коротковолновый свет (воспринимаемый глазом как синий) рассеивается сильнее, чем длинноволновый (красный). Рассеянный коротковолновый свет окрашивает небо, при этом у солнца мы его отобрали, оставив преимущественно красный. Кстати, солнце в зените еще не такое красное, скорее желтое, а вот на заре - помидор помидором. Почему? Оставим вам этот вопрос в качестве несложного самостоятельного упражнения.
107. Загадка эскимосов
В иглу (доме эскимосов, сделанном из льда) для обогрева разводят костры. По идее, это должно приводить к сырости - лед тает, вокруг лужи, с потолка течет - но нет, в иглу всегда сухо. В чем секрет?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Слабый огонь - если развести костер посильнее, то воды будет полно.
2. Появляющаяся вода, как губкой, поглощается льдом.
3. Эскимосы регулярно протирают влажный лед.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Как установили еще Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц[15 - Лев Давидович Ландау (1908 -1968) и Евгений Михайлович Лифшиц (1915 -1985) - советские ученые, авторы фундаментального курса по теоретической физике (издание в 10 томах).], расплав (в нашем случае вода) полностью смачивает (значит, эффективно притягивается; вот ртуть, чтобы было понятно, ничего не смачивает) твердую фазу того же вещества (т. е. лед). А поскольку лед - довольно-таки пористое вещество, то оно успевает впитывать всю воду в эскимосском жилище. Конечно, у всего есть свои пределы: если поставить там тепловую пушку, рано или поздно стены иглу потекут, но тепла от костра и человеческих тел недостаточно, чтобы лед намок.
108. Подвижная пластина
Биметаллическая пластина[16 - Получается пайкой пластин из двух различных металлов.] при нагреве искривляется в определенную сторону. А при охлаждении что с ней будет происходить?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. В противоположную сторону искривится.
2. Ничего, никаких деформаций.
3. В ту же сторону искривится.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Температурное расширение в первом приближении линейно по температуре, т. е. с достаточной точностью можно писать ?x = k?T, где ?x - удлинение, ?T - изменение температуры, k - некий коэффициент, зависящий от свойств материала. Биметаллическая пластина состоит из двух материалов, у которых эти коэффициенты, скорее всего, различны - значит, один расширяется сильнее, чем другой, - за счет чего и будет происходить искривление (та сторона, что расширяется быстрее, будет выпуклой, а вторая - вогнутой). Но при понижении температуры она же будет и быстрее сжиматься - значит, она уже станет вогнутой, а противоположная сторона выпуклой, т. е. деформация пойдет в противоположном направлении.
109. Лазерный холодильник
[17 - Еще одна задача от Я. Б. Зельдовича (см. задачу № 99).]
Лазерный луч, проходя через поглощающий газ, передает ему энергию и тем самым его нагревает. А можно ли представить ситуацию, когда газ будет лазером, напротив, охлаждаться?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Да, при определенном подборе частоты лазерного излучения.
2. Нет, это противоречит как закону сохранения энергии, так и Третьему началу термодинамики.
3. Зависит от направления лазерного луча: при проходе в одну сторону он нагревает газ, при проходе в обратную - охлаждает.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Атом может поглощать фотоны с последующим рассеянием: грубо, глотает и выплевывает. Но не всякие, а только определенной частоты (так называемая частота перехода), или, что то же самое, энергии (частота фотона ? и его энергия E связаны через постоянную Планка, E = h?). Вспомним эффект Доплера: частота приближающегося к нам источника света выше, чем в случае, если бы он покоился. Настроим лазер так, чтобы его частота была ниже частоты перехода, и будем облучать им газ - тогда поглощать будут только те атомы, которые летят навстречу лазерному лучу (с достаточной скоростью - чтобы измененная за счет эффекта Доплера частота фотона совпала с частотой перехода), а после испускать свет на частоте перехода - т. е. на большей частоте, нежели поглотили. Значит, немного энергии мы у таких атомов отобрали - а это как раз энергия теплового движения, никакой другой же нет. Получается, охладили.
110. Хаотические резисторы
Есть 1000 одинаковых резисторов, которые случайным образом (какие-то последовательно, какие-то параллельно) соединяются друг с другом. А как друг к другу относятся максимальное и минимальное сопротивление такой цепи?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Как 1000: 1.
2. Как ? (минимальное сопротивление ноль).
3. Как 1 000 000: 1.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Задачка с подвохом, который состоит в том, что никакого подвоха нет! Пусть сопротивление одного резистора - r. Когда оно будет максимальным? Когда все они включены в цепь последовательно - здесь все сопротивления складываются, R^max^ = 1000 r. А минимальным когда? Когда они включены параллельно, тогда складываются обратные сопротивления, 1/R^min^ = 1000/r. Отсюда R^max^/R^min^ = 1000 ? 1000 = 1 000 000.
111. Неожиданный диполь
[18 - Диполь - это система из двух близкорасположенных зарядов, одинаковых, но противоположных по знаку (соответственно, полный заряд диполя равен нулю).]
Трехатомная молекула углекислого газа (CO^2^) не имеет дипольного момента, а молекула воды (H^2^O) имеет, почему так?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Вода всегда находится в диссоциированном[19 - Диссоциация воды - явление, при котором молекула воды распадается на ионы, положительно заряженный водород (H^+^) и отрицательно заряженный HO^ -^.] состоянии, HO^?^ и H^+^.
2. У CO^2^ есть дипольный момент, но, поскольку все положения молекулы равновероятны, в среднем он равен нулю.
3. В молекуле CO^2^ все атомы расположены на одной прямой, а в молекуле H^2^O - нет.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
В молекуле CO^2^ атомы расположены на одной прямой в цепочке O?C?O. Из соображений симметрии ясно, что дипольного момента у нее не может быть: если бы он и был, то он обязан был бы находиться в параллели с осью молекулы; но если молекулу перевернуть на 180°, то направление диполя сменится на противоположное, притом что это будет та же молекула, точно так же расположенная, как первоначальная. Вектор (диполя) равен самому себе с обратным знаком - значит, он равен нулю. Другое дело молекула воды - атомы в ней не лежат на одной линии, а образуют треугольник; при этом кислород оттягивает электроны от водорода - отсюда и дипольный момент.
112. Чернобыльский след
Во время аварии на Чернобыльской АЭС в 1986 г. вышедшая наружу радиоактивность составила 5 ? 10^18^ Бк (Бк - это Беккерель, или один распад в секунду), в основном она пришлась на изотопы с периодом полураспада 30 лет (Cs-137, Sr-90 и др.). Какой будет эта радиоактивность к 2286 г.?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 5 ? 10^17^ Бк.
2. 1,67 ? 10^16^ Бк.
3. 5 ? 10^15^ Бк.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Период полураспада - это время, за которое активность снижается вдвое. Если период полураспада равен 30 годам, то через 300 лет активность уменьшится в 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2^10^ = 1024 раза.
113. Летит и светится
Радиоактивная частица разогревает воздух вокруг себя и за счет этого поднимается вверх. Как высоко она может забраться?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Остановится, когда подъемная сила сравняется с весом частицы.
2. Неограниченно высоко: выйдя за пределы атмосферы, будет снесена в космос солнечным ветром.
3. Это движение имеет случайный характер, подъемная сила компенсируется случайными соударениями с другими частицами - так что будет просто болтаться в воздухе, как пыль.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Для того чтобы на частицу действовала подъемная сила, вокруг нее должна быть атмосфера, это и из условий задачи следует. Как только частица поднимется достаточно высоко, туда, где атмосферы нет (вернее, где она достаточно разрежена), подъемная сила снизится, сравнявшись с весом частицы, после чего подъем прекратится.
114. Куда летим?
Прямоточный реактивный двигатель - это просто труба, в середине которой сгорает топливо, а газы (продукты сгорания), по идее, могут выходить с обоих ее концов. Таким образом, самолет может полететь не вперед, а назад, а может вообще никуда не полететь - если газы будут выходить сразу в обе стороны. Как же добиваются того, чтобы газы выходили в определенном направлении и самолет все же летел вперед?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Там ставят вентилятор, который задает нужное направление выхода газов.
2. Закрывают расположенное спереди отверстие заглушкой.
3. Включают реактивный двигатель после достижения самолетом определенной скорости.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Как и в обычной печной трубе, в реактивном двигателе нужно создать тягу. Если самолет слегка разогнать, не включая реактивный двигатель (с помощью обычного ДВС), тяга возникнет сама собой - трубу будет продувать от переднего края к заднему. После этого запускаем реактивный движок - и вуаля, газы выходят строго в направлении тяги - т. е. из заднего отверстия трубы.
115. Пылесос раздора
Марина Сергеевна приобрела модный пылесос с прозрачными корпусом и шлангом. Через три дня она пришла в магазин сдать его обратно: мол, изделие бракованное, при работе в шланге возникают какие-то разряды. В магазине проверили прибор и убедились, что он совершенно исправен. Кто кого обманывает?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Никто: искры и правда то есть, то нет.
2. Марина Сергеевна, она все выдумала.
3. Сотрудник магазина - очень уж брак назад принимать не хочется.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Известно, что диэлектрические тела заряжаются при трении друг о друга. При работе пылесоса сухая пыль трется о шланги, между заряженными частицами могут возникать разряды, видимые невооруженным глазом. Почему же Марина Сергеевна это видела, а продавец в магазине - нет? Ответ очевиден: Марина Сергеевна закачивала в пылесос пыль, а продавец - чистый воздух.
116. Ограниченная видимость
Одна пылинка закрывает в воздухе определенную площадь, так называемое сечение ослабления. Пусть в воздухе плавает пыль размером 1 мкм и концентрацией 1000 частиц на 1 см? - как далеко можно видеть в таком тумане?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 10 м.
2. 100 м.
3. 1 км.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Чисто арифметическая задача: какую площадь закрывают пылинки в тонком слое толщиной, скажем, 1 мм и сечением (для простоты) 1 см?? Сечение ослабления 1 мкм? = 10^?8^ см?, частиц с таким сечением в нашем слое 10? (1000 ? 0,1 см ? 1 см ? 1 см), общая площадь, закрываемая пылинками, 10^?8^ ? 10? = 10^?6^ см?, или 1/1 000 000 от площади нашего слоя. Сколько нужно взять таких слоев, чтобы полностью закрыть нашу площадь в 1 см?? Очевидно, миллион. Миллион слоев по 1 мм дают толстенный слой в 1 км - это и есть предел видимости в таком загрязненном воздухе.
117. Самая высокая гора
[20 - Еще одна задача от А. Б. Мигдала (см. задачу № 97).]
Самая высокая гора, как известно, - Джомолунгма, 8,8 км высотой. Почему не бывает гор выше?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Это случайность - какая-то гора должна же быть самой высокой.
2. Бывали и более высокие горы, но проиграли в этом соревновании из-за выветривания пород.
3. Более высокая гора «потечет» под собственным весом.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Дайверы знают, что с погружением на каждые 10 м давление воды вырастает на 1 атм. Плотность горной породы где-то втрое больше плотности воды - значит, там метр за три, прибавляем 1 атм на каждые 3 м высоты. При этом предел текучести, он же - предел прочности на сжатие, для горных пород лежит в диапазоне 1000 -3000 атм. Если давление выше, порода просто течет. А 3000 атм на какой высоте наберется? 3 ? 3000 = 9000 м - аккурат высота Джомолунгмы! Любая гора большей высоты просто растечется в своем основании. Кстати, то же случилось бы и с Вавилонской башней - видимо, так Бог страховался на случай, если его трюк со смешением языков не сработает.
118. Самая глубокая дыра
Самое глубокое место в природе - Марианская впадина в Тихом океане, 11 км. Самое глубокое рукотворное отверстие - Кольская скважина, 12 262 км. Можно ли глубже?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Куда уж глубже! Нет.
2. Можно и глубже, если укреплять стенки углубления сверхпрочным графеном[21 - Графен - искусственный кристалл на основе углерода, за его получение А. Гейм и К. Новосёлов были удостоены в 2010 году Нобелевской премии по физике.].
3. Скважину глубже сложно себе представить, а вот впадина могла бы быть и помощнее.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Проблема сверхглубоких скважин - это температура, которая с увеличением глубины растет по линейному закону - на 1 °C каждые 20 -50 м. В Кольской скважине у дна она может достигать 600 °C, т. е. там не порода, а расплав - при попытке углубить скважину ее продолжение будет заливать жидкой материей. Иное дело впадина в океане - там тепло отводится большим объемом воды, так что Марианская впадина - это не предел, можно представить себе дыру и гораздо более глубокую, глубже даже Кольской скважины. Чем может быть ограничена такая глубина - пока неизвестно.
119. Как замаскироваться рыжему?
В каком зеркале рыжий сможет увидеть себя перекрашенным в синий?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. В зеркале, покрытом пленкой, поглощающей в красном спектре.
2. В зеркале, быстро приближающемся к наблюдателю.
3. В зеркале из специального кварца - из того же, из которого делали «фиолетовую лампу».
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Велик соблазн выбрать вариант 1, но он неверный: в зеркале с поглощающей пленкой все красные оттенки просто блекнут, но не превращаются в синие. Иное дело быстро приближающееся зеркало: за счет эффекта Доплера все красные цвета сдвигаются в синий спектр. Напротив, если зеркало удаляется, то синеволосый мужчина резко рыжеет. Другое дело, что скорость зеркала при этом представляется неправдоподобной - порядка 2/3 от скорости света в вакууме, или 200 000 км/с. Так что рыжий сможет любоваться на свое отражение очень недолго.
120. Невесомость на земле
Мост представляет собой дугу окружности радиусом 250 м. Может ли водитель автомобиля, едущего по мосту, почувствовать себя в невесомости?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Навряд ли.
2. Разве что снесет ограждения и слетит с моста.
3. Если как следует разгонится - например, до 180 км/ч.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Невесомость - это, по определению, отсутствие веса, т. е. давления тела на поверхность или опору. Чтобы ощутить невесомость, необязательно отправляться в открытый космос - достаточно оказаться в падающем лифте. Чтобы наша машина послужила таким лифтом, нужно, чтобы центробежная сила mv?/R превысила силу тяготения mg (m - масса автомобиля, v - скорость, R = 250 м - радиус, g = 10 м/с? - ускорение свободного падения), откуда находим v > vgR = 50 м/с = 180 км/ч.
121. Перезаряжаемые шары
Десять одинаковых металлических шаров лежат на одной прямой. Первый шар заряжен электрическим зарядом, его толкают кием, и последовательно сталкиваются: первый - второй, второй - третий, третий - четвертый, …, девятый - десятый. Как относятся заряды на десятом и на первом шарах?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 1: 1.
2. 1: 256.
3. 1: 1024.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Когда два шара соприкасаются, их заряды уравниваются, ничего другого быть не может хотя бы из соображений симметрии. Пусть заряд первого был Q, после столкновения со вторым у него осталось Q/2. У второго и третьего после их столкновения - по Q/4, у третьего и четвертого по Q/8 и т. д. Значит, на n-м столкновении у (n + 1) - го шара - заряд Q/2^n^. Всего таких столкновений, очевидно, девять. То есть у десятого шара заряд Q/2^9^. Делим это число на заряд первого шара - а он теперь Q/2! - и получаем 1/2^8^ = 1/256.
122. Ground control to major tom
На космическом корабле (массой 1 т) сломался двигатель. Капитан принимает решение раскрыть солнечный парус (благо, им нужно лететь как раз в сторону от Солнца), представляющий собой квадрат со стороной 30 м. Принимая, что мощность солнечного света в том месте 100 Вт/м?, прикинем, через какое время корабль выйдет на вторую космическую скорость (11,2 км/с).
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Через 7 часов.
2. Через неделю.
3. Через 2 года 3 месяца и 8 дней.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Корабль движется с постоянной мощностью M, создаваемой солнечным парусом, - M = 1000 м? ? 100 Вт/м? = 105 Вт. Мощность - это скорость изменения энергии корабля, а его энергия - это mv?/2. С учетом того, что мощность постоянна, получаем mv?/2 = Mt (считаем, что в момент поломки двигателя скорость корабля равнялась нулю). Выражая отсюда время, выводим t = mv?/2M. Подставляя значения массы, скорости и мощности, нетрудно получить время: 1000 кг ? (11,2 ? 10? м/с)?/2 ? 10^5^ Вт ~ 627 200 секунд, или 174 часа, или семь с хвостиком дней. Неплохо для скромного паруса 30 ? 30 м, а если б он был 100 ? 100 - в сутки бы уложились!
123. Определить фальшивку
Когда Архимеду приносили золото, он быстро выявлял, фальшивое оно или настоящее. Действовал он просто: фальшивое золото представляло собой сплав золота с медью, значит, плотность его была меньше плотности чистого золота (медь же легче золота). Архимед взвешивал драгметалл, потом измерял его объем (в ванной, по известному архимедовскому методу) - и быстро исчислял плотность. А вот если б ему поднесли сплав золота, меди и урана (по плотности равный золоту - этого несложно добиться, учитывая, что уран тяжелее золота) - справился бы он?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Еще б, это ж Архимед! Что-нибудь да придумал бы.
2. Обработав сплав кислотой, выделил бы золото и убедился, что это фальшивка.
3. Нет.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Сложно утверждать доподлинно, мало ли чего Архимед бы там выдумал, но, скорее всего, он бы обманулся. Дело в том, что самый простой способ убедиться, что этот сплав не золото, - это измерить излучаемую им радиацию. Все природные изотопы золота стабильны, а все изотопы урана - радиоактивны, излучает - значит, не золото. Но во времена Архимеда не то что методы измерения радиации, само понятие это было неизвестно (правда, уже начинали догадываться об атомах - но были в самом начале пути). Так что пришелец из нашего времени, наподобие марк-твеновского янки из Коннектикута, вполне бы смог надуть старика.
124. Очень одинокая волна
Волны на воде имеют разную скорость: чем она длиннее (чем больше расстояние между пиками волн), тем больше ее скорость. Поэтому волне очень трудно сохранить свою форму: длинные волны догоняют короткие, они складываются, образуется крутой фронт - и падают под своей тяжестью. Как же тогда объяснить солитоны - волны с одним горбом, распространяющиеся без изменения формы?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Длина волны у солитона одна, значит, скорость распространения всех его кусочков одинакова - вот он и не меняется.
2. Учтем все факторы: подводные и наводные течения, ветер, рельеф дна - и тогда получим, что существование солитонов возможно.
3. Нелинейщина: скорость волны зависит не только от ее длины, но и от амплитуды, при определенном подборе амплитуд и длин разных волн можно добиться, чтобы у них была одинаковая скорость.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Действительно, если бы скорость волны зависела только от ее длины, солитоны были бы немыслимы: представляя собой совокупность волн с разной длиной волны, они бы быстро распадались - все волны двигались бы с разной скоростью и тем самым не могли бы двигаться как целое. Но волны в воде нелинейны, и скорость их движения зависит не только от длины волны, но и от амплитуды: можно взять две волны, отличающиеся по амплитуде и по длине, у которых будет тем не менее одинаковая скорость. Вот почему солитоны все-таки существуют.
125. Серая шейка
«Всего опаснее были ясные, звездные ночи, когда все затихало и на реке не было волн. Река точно засыпала, и холод старался сковать ее льдом сонную. Так и случилось. Была тихая-тихая звездная ночь. ‹…› Бурлившая днем горная река присмирела, и к ней тихо-тихо подкрался холод, крепко-крепко обнял гордую, непокорную красавицу и точно прикрыл ее зеркальным стеклом. Серая Шейка была в отчаянии, потому что не замерзла только самая середина реки, где образовалась широкая полынья» (Д. Н. Мамин-Сибиряк. «Серая Шейка»).
Почему водоемы застывают в тихую погоду?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Сочиняет Мамин-Сибиряк, в любую погоду - лишь бы было похолоднее.
2. Вода в реке - переохлажденная жидкость. Чтобы она кристаллизовалась, наоборот, нужно ее встряхивать поэнергичнее.
3. Температура воды выше точки замерзания, перемешивание заставит растаять образующийся лед.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:3
Известно, что крупные водоемы редко промерзают до дна. О чем это говорит? О том, что они хранят изрядный запас тепла, а еще подпитываются теплом от Земли. При прочих равных, если перемешивать воду в водоеме, лед образоваться не сможет - она всегда будет теплее, чем нужно для замерзания. Это как если постоянно помешивать кипящее молоко, в нем никогда не образуется пенка.
126. Задача о поездах
[22 - Этот вопрос великий физик и популяризатор науки Ричард Фейнман (1918 -1988) задал в одной из своих видеолекций.]
Что удерживает поезд на рельсах?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Специальная форма колес на колесной паре.
2. Специальный выступ на колесе, не позволяющий поезду соскользнуть с железнодорожного полотна.
3. Всему причиной - идеально отшлифованные и подогнанные поверхности рельсов и колес, атомы которых расположены так близко друг к другу, что начинают эффективно притягиваться - в результате поезд как бы прилипает к рельсам.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Вспомним о том, что колесная пара связана жесткой осью без всякого дифференциала, а само колесо имеет слегка коническую форму. При отклонении от положения равновесия (середина ж/д полотна) одно колесо вращается по бoльшему радиусу, т. е. проходит больший путь, чем второе, - в результате вагон слегка поворачивает и возвращается назад к середине полотна. А выступы, как замечает Р. Фейнман, - они только для безопасности, чтобы не дать поезду сойти с рельсов при слишком больших отклонениях от равновесия.
127. Загадка красноярской ГЭС
После постройки Красноярской гидроэлектростанции Енисей перестал замерзать - от плотины ниже по течению даже в самые лютые зимы тянется полынья длиной в десятки, а порой и сотни километров. В чем тут дело, почему даже в лютые -35 °C реку не сковывает льдом?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Плотина Красноярской ГЭС чрезвычайно высокая - 124 м. Падая с такой высоты, вода набирает огромную кинетическую энергию, которая после переходит в тепловую (после удара воды о реку).
2. Вода для вращения турбин берется из глубины Красноярского водохранилища, где она имеет плюсовую температуру.
3. В целях недопущения обледенения оборудования часть вырабатываемой энергии идет на подогрев воды и ключевых агрегатов.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Было бы очень красиво, если бы правильным был первый ответ. Давайте посчитаем, насколько может нагреться вода при падении с плотины. Пусть вся энергия 1 кг падающей воды переходит в тепловую - эта энергия равна 1 ? gh (h = 124 м, g = 10 м/с? - ускорение свободного падения), а формула для тепловой энергии E^T^ = 1 ? c?T (c = 4200 Дж/кг ? градус - удельная теплоемкость воды, ?T - изменение температуры). Приравнивая эти энергии, получим ?T = gh/c = 1240/4200 ? 0,3 °C. То есть она все-таки нагревается! Но, конечно, нагрев этот слишком незначительный по сравнению с температурой воды в водосбросе - там все-таки есть несколько градусов. Именно за счет этих нескольких градусов в гигантском объеме перетекающей воды Енисей не замерзает зимой и, напротив, никогда не прогревается летом (вода-то по-прежнему берется с глубин водохранилища!), даже в жару вода в реке не теплее +12 °C, и купаются в ней только «моржи».
128. Хитроумные фашисты
Во время Второй мировой немцы использовали мину Topfmine («мина-горшок»), которая не имела металлических деталей, при установке присыпалась песком и маскировалась. Обычным миноискателем такую мину не обнаружить, но у немцев было специальное устройство Stuttgart 43, с помощью которого отыскать мину не составляло труда. Как это устройство работало?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Местоположение мин обнаруживалось благодаря радиоактивному излучению.
2. Устанавливая мины, немцы фиксировали их положение на карте, а Stuttgart 43 работал как точный прибор-навигатор, позволяющий быстро восстановить местоположение мин с использованием таких карт.
3. Stuttgart 43 и Topfmine были связаны каким-то кодовым сигналом, наподобие автосигнализации: мина - машина, миноискатель - брелок. Нажимаешь кнопку на брелке - мина откликается.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Все дело в песке, которым присыпали мину: это был монацит, природный фосфат редких земель, который радиоактивен из-за содержания тория. Stuttgart 43 обнаруживал ионизирующее излучение (следствие радиоактивного распада) - т. е. работал по тому же принципу, что и счетчик Гейгера.
129. Заряжающий и бодрящий распад
Альфа-распад ядра сопровождается вылетом положительно заряженной ?-частицы, бета-распад - вылетом отрицательно заряженного электрона (?-частицы). Но при этом вне зависимости от типа распада радиоактивное тело заряжается положительно, хотя казалось бы… Как разъяснить этот парадокс?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Радиоактивное вещество - это всегда проводник, за счет создаваемой при распаде разности потенциалов он с необходимостью заряжается положительно.
2. Тяжелая и быстрая ?-частица увлекает за собой (по сути выбивает) множество электронов.
3. Альфа-распад всегда сопровождается другими радиоактивными процессами, которые влияют на заряд вещества противоположным образом.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
С бета-распадом все понятно: ?-частица - это обычный электрон, обладающий элементарным (минимально возможным - меньше не бывает) отрицательным зарядом. Улетели отрицательно заряженные электроны - соответственно, тело зарядилось положительно (изначально-то оно было нейтральным - т. е. количество отрицательных и положительных зарядов совпадало). А с альфа-распадом посложнее будет: ?-частица - это положительно заряженное (два элементарных заряда) ядро атома гелия. Казалось бы, улетели «плюсики» - значит, должен остаться «минус». Но есть нюанс: ядро гелия в тысячи раз тяжелее электрона, вылетая, оно увлекает их за собой десятками - так что в итоге тело заряжается положительно, даже эффективнее, чем при бета-распаде.
130. Заряжающее кипячение
Может ли вода заряжаться при кипении?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. С чего вдруг? Конечно нет!
2. В стальной кастрюле вряд ли, а в эмалированной - может.
3. В электрочайнике заряжается от электросети (220 В).
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Вода всегда находится в частично диссоциированной форме - т. е. помимо молекул воды в ней содержатся ионы H^+^ и HO^?^. Скорости испарения у них разные, легкие ионы H^+^ испаряются быстрее - как следствие, кипящая вода приобретает небольшой отрицательный заряд. При условии, конечно, что кипит в диэлектрической посуде - если сосуд проводящий, то заряд «стечет» на землю.
131. Мягкая сила
Не самый сильный человек при помощи системы блоков хочет поднять груз весом 2,5 т. При этом, трезво оценивая свои силы, он хотел бы приложить усилие в количестве не более 20 кг - больше ему не выдержать. Какое минимальное число блоков ему потребуется?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. 8.
2. 32.
3. 125.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Применение блоков, как известно, позволяет с меньшими усилиями поднимать большие грузы. Насколько меньшими? Давайте посчитаем. Берем самую простую систему - двухблочную (см. рисунок - представьте, что там только два блока, неподвижный, прибитый к балке и свободный второй). Сдвинем веревку на l, насколько поднимется груз? Очевидно, на l/2. Работа по подъему груза есть F^1^l = F^2^l/2 (последнее равенство - просто одна из форм записи закона сохранения энергии; здесь F^1^ - сила, которую прикладывает человек, F^2^ - сила, с которой притягивается к земле груз, т. е. попросту вес груза). Сократив обе стороны равенства на l, получим F^1^ = F^2^/2. Рассмотрим теперь систему из трех блоков. Рассуждая аналогичным образом, выводим F^1^ = F^2^/4 и, обобщая на случай n блоков, - F^1^ = F^2^/2^n?1^. Или, переписав эту формулу, 2^n?1^ = F^2^/F^1^ = 2500/20 = 125. Вспоминая, что 128 = 2^7^, а 125 - это почти 128, находим n - 1 = 7, n = 8 - восьми блоков будет достаточно, чтобы поднять груз массой 2,5 т, приложив усилие в 20 кг (и даже немножечко меньшее).
132. Загадка водопроводчика
- Але, граждане! У нас авария на подстанции, давления не будет до вечера! - буркнул водопроводчик и повесил трубку.
Дело было в многоквартирном 10-этажном доме, зимой, при ощутимом морозе. Если на нижних этажах еще была вода, то начиная с пятого из открытых кранов уже ничего не текло. Жители перепугались, что сейчас у них все вымерзнет, батареи от холода лопнут, - в общем, стали готовиться к глобальной катастрофе. Однако ничего такого не случилось, батареи грели, как и прежде, вплоть до самого вечера, когда с аварией справились. Как такое возможно?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. В замкнутом контуре отопления движение воды возможно и при низком давлении, а вот по водопроводу воду без давления не поднять.
2. Авария касалась только водопровода, система отопления не была с ним связана.
3. Батареям хватило до вечера утреннего запаса тепла.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:1
Нет, конечно, можно предположить, что системы водо - и теплоснабжения в этом доме независимы, но в подавляющем большинстве случаев это не так, почти всегда это одна и та же система, так что будем из этого исходить. Почему не текла вода из кранов верхних этажей? Известно, что давление воды падает на 1 атм при повышении уровня на 10 м. Пятый этаж - это где-то метров 20, т. е. давление в трубе было где-то на уровне 2 атм - его еще хватало поднять воду до четвертого, но выше уже никак. Это потому, что водопроводный контур - открытый: поднимаем воду до уровня крана, из которого она вытекает свободно. Иное дело - контур тепловой: он замкнутый. Подняв столб воды на высоту h, мы одновременно такой же столб воды с такой же высоты спустили - т. е. здесь работы почти не совершается, баланс энергии практически нулевой. Соответственно, движение воды по такому контуру возможно даже при очень небольшом давлении. Схожий эффект многие могли наблюдать при сливании бензина из бензобака через трубочку: главное - запустить ток жидкости (говорят «отсосать бензин») и держать выпускное отверстие ниже уровня топлива в
баке, и тогда оно может вытечь хоть все, притом что сначала ему нужно подняться по трубке на ощутимую высоту.
133. Меткий выстрел
Артиллерийский расчет после долгих вычислений и пристреливаний производит залп по намеченной цели, в которую на сей раз они - уж будьте покойны, ваше благородие! - совершенно точно попадут. Расстояние до цели L, снаряд стартует под углом 45° к поверхности земли - «Готовьсь. Цельсь. Пли!». Но вот же незадача: в самой верхней точке своей траектории снаряд разрывается ровно надвое, причем одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле, а вторая продолжает полет в том же направлении, что и раньше, т. е. параллельно поверхности земли. Удастся ли этой второй, более удачливой половине поразить цель и куда вообще она упадет?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1. Нетрудно посчитать, что она перелетит цель и упадет на расстоянии 3/2 L от орудия.
2. А у задачи вообще есть решение?
3. Поскольку импульс снаряда после разделения на две части не поменялся, то не изменится и траектория - упадет туда, куда и было задумано.
ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ:2
Формально, решение элементарно: импульс снаряда перед разрывом и после один и тот же (обозначим его p0), при этом речь о наивысшей точке - т. е. направление импульса в этот момент параллельно поверхности земли. Одна половинка полетела строго вниз, значит, импульса вдоль поверхности земли у нее вообще нет - по закону сохранения импульса он весь остался на второй половинке, полетевшей горизонтально. Импульс у нее p0, масса вдвое меньше первоначальной - соответственно, скорость вдвое выше, чем была. Время спуска у нее такое же, как у неразорвавшегося снаряда (определяется предельной высотой и ускорением свободного падения g, - получается, пролетит она вдвое дальше. То есть в составе снаряда пролетела L/2, а отдельно пролетит еще 2 ? L/2 - всего, выходит, 3/2L.
Но обратите внимание на условие: «одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле» - следовательно, у первой половины снаряда появляется вертикальная компонента импульса. А у второй - нет (продолжает лететь параллельно земле). Притом что до разрыва они летели вровень с землей, значит, если одна помчалась вниз, другая с неизбежностью должна подскочить вверх - иначе никакой закон сохранения импульса не выполняется. В результате имеем некорректно поставленную задачу, без решения.
Послесловие
Радость от ума
В магазине - акция: «Купи две вещи, получи третью в подарок!», и мелким шрифтом приписано: «В подарок по акции предназначена вещь наименьшей стоимости из трех». Уже на кассе жена меня спрашивает:
- А что нам делать, если вещей у нас шесть? Пробивать в два чека? А как их распределить?
- В первый чек все самое дешевое, во второй - самое дорогое. Тогда твоя скидка будет максимальной, - отвечаю наобум, просто чтобы ее успокоить, дать какой-то алгоритм. Но пока стоим в очереди, обдумываю эту задачу. И она мне нравится все больше и больше.
Правильный ли ответ я дал? Давайте посмотрим. Есть шесть товаров с разной ценой, для определенности пусть они стоят 1, 2, 3, 4, 5 и 6 руб. Пробиваем два чека, в одном из них с необходимостью будет товар ценой 1 руб., и именно такой будет скидка по этому чеку. Значит, нужно сделать так, чтобы во втором чеке самый дешевый товар был как можно дороже. Это возможно сделать, только если два самых недорогих товара (из оставшихся пяти) поместить в первый чек - а это вещи ценой 2 и 3 руб. Тогда в первом чеке у нас товары за 1, 2 и 3 руб., во втором - за 4, 5 и 6. Получается, совет жене я дал совершенно правильный. Нетрудно распространить это правило и на любое другое число товаров, кратное трем: рассуждая аналогичным образом, мы получим, что всегда нужно группировать товары по цене (по возрастанию или по убыванию) и в каждом чеке пробивать ближайшие «тройки». Можно еще задаться вопросом: если покупаешь три вещи, что выгоднее - чтобы они были в разную цену или одну и ту же? Несложно показать, что максимальная скидка (33 %) достигается, когда вещи стоят одинаково, в противном случае она может быть
значительно ниже (в примере трех вещей ценой в 1, 2 и 3 руб. скидка составляет 1/6 = 17 %).
Эта задача кажется мне замечательной вот по какой причине: она наглядно показывает, что сложные расчеты и рассуждения применимы не только в высокой академической науке, но и в самой что ни на есть приземленной, мещанской сфере, к каковой, вне всяких сомнений, относятся промоакции в магазинах. Казалось бы, никакой связи - а она есть. Любите науку, это взаимно!
Николай Полуэктов
Москва, 31 мая 2016 г.
Основная литература по теме
Часть заданий в книге - переработанные классические задачи. Список литературы, содержащей исходные задачи и горячо рекомендуемой к прочтению:
Арнольд В. И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. - М.: МЦНМО, 2004.
Гарднер М. Крестики-нолики. - М.: Мир, 1988.
Дербишир Дж. Простая одержимость. - М.: Астрель, 2010.
Люка Ф. Математические развлечения. - СПб.: Книжный Клуб Книговек, Северо-Запад, 2010.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - М.: Наука, 1975.
Смаллиан Р. Как же называется эта книга? - М.: ИД Мещерякова, 2007.
Стюарт И. Величайшие математические задачи. - М.: Альпина нон-фикшн.
Фелдман Д. Непостижимости. - М.: КоЛибри, 2007.
Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. - М.: МЦНМО, 2007.
notes
Сноски
1
g = 9,8 м/с? - ускорение свободного падения в поле притяжения Земли вблизи ее поверхности.
2
Флуктуация (от лат. fluctuatio - колебание) - любое периодическое изменение. - Прим. ред.
3
«Бешеные псы» - культовый фильм американского режиссера Квентина Тарантино, снятый в 1991 г.
4
Фудзияма, Фyдзи - действующий вулкан на о. Хонсю в Японии.
5
Эту замечательную задачу автор подсмотрел в книге И. Стюарта «Величайшие математические задачи» (см. «Основная литература по теме»).
6
Владимир Игоревич Арнольд (1937 -2010) - один из крупнейших математиков XX века, ученик Андрея Николаевича Колмогорова. Был ярким популяризатором науки, в частности, написал книгу «Задачи для детей от 5 до 15 лет» (см. «Основная литература по теме»), именно в ней он признается в том, что вопрос про арбузы - один из его любимых.
7
С этой задачи начинается замечательная книга «Простая одержимость» Джона Дербишира (см. «Основная литература по теме») про одну из главных (и до сих пор не разгаданных) математических загадок - гипотезу Римана.
8
Фейнман Р. «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» - М.: АСТ.
9
Эту задачу предложил Вениамин Григорьевич Левич (1917 -1987) - советский физик, ученик Л. Д. Ландау.
10
А эта задача была предложена Петром Леонидовичем Капицей (1894 -1984).
11
Задача предложена Аркадием Бейнусовичем Мигдалом (1911 -1991), академиком АН СССР, участником советского атомного проекта.
12
Дейтерий - тяжелый водород, в составе ядра у которого один протон и один нейтрон (у обычного водорода - только протон, а у сверхтяжелого трития протон и два нейтрона).
13
Задачу предложил Яков Борисович Зельдович (1914 -1987) - академик АН СССР, участник советского атомного проекта.
14
Джон Уильям Стретт, третий барон Рэлей, лорд Рэлей (1842 -1919) - британский физик и механик.
15
Лев Давидович Ландау (1908 -1968) и Евгений Михайлович Лифшиц (1915 -1985) - советские ученые, авторы фундаментального курса по теоретической физике (издание в 10 томах).
16
Получается пайкой пластин из двух различных металлов.
17
Еще одна задача от Я. Б. Зельдовича (см. задачу № 99).
18
Диполь - это система из двух близкорасположенных зарядов, одинаковых, но противоположных по знаку (соответственно, полный заряд диполя равен нулю).
19
Диссоциация воды - явление, при котором молекула воды распадается на ионы, положительно заряженный водород (H^+^) и отрицательно заряженный HO^ -^.
20
Еще одна задача от А. Б. Мигдала (см. задачу № 97).
21
Графен - искусственный кристалл на основе углерода, за его получение А. Гейм и К. Новосёлов были удостоены в 2010 году Нобелевской премии по физике.
22
Этот вопрос великий физик и популяризатор науки Ричард Фейнман (1918 -1988) задал в одной из своих видеолекций.
|
